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Forum "Zahlentheorie" - Unendl. viele Primzahlen mod 8
Unendl. viele Primzahlen mod 8 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Unendl. viele Primzahlen mod 8: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:49 Sa 26.01.2008
Autor: Amande

Aufgabe
Es gibt unendliche viele Primzahlen p [mm] \equiv [/mm] 7 (mod 8).

Hallo zusammen :)

Ich bin gerade dabei, diese Aussage zu beweisen und komm nicht weiter.

Analog zum Beweis von Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, möchte ich das auch mit einem Widerspruchsbeweis machen.
Und zwar siehts bisher so aus:

Annahme:
P = [mm] \{p \in \IP | p \equiv 7 (mod 8)\} [/mm] ist endlich.
Also: P = [mm] \{q_{1},q_{2},...,q_{n}\} [/mm] mit n aus [mm] \IN [/mm] geeignet.

Betrachte nun p = 8 [mm] \produkt_{i=1}^{n} q_{i} [/mm] - 1
Dann ist p [mm] \equiv [/mm] 7 (mod 8) und ungerade.

Daraus folgt, dass p einen ungeraden Primteiler q besitzt.

Ich kann jetzt ausschließen, dass eines der [mm] q_{k}'s [/mm] p teilt.

Annahme: [mm] q_{k} [/mm] teilt p.
[mm] q_{k} [/mm] teilt aber auch 8 [mm] \produkt_{i=1}^{n} q_{i} [/mm]
=> [mm] q_{k} [/mm] teilt 1, was ein Widerspruch ist

Wie beweis ich jetzt noch, dass es 3 und 5 nicht sein können?

Eine kleiner Gedankenanstoß wäre sehr hilfreich :)

Vielen Dank schon im Voraus!
Mandy

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Unendl. viele Primzahlen mod 8: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 So 27.01.2008
Autor: felixf

Hallo Mandy

> Betrachte nun p = 8 [mm]\produkt_{i=1}^{n} q_{i}[/mm] - 1
>  Dann ist p [mm]\equiv[/mm] 7 (mod 8) und ungerade.
>  
> [...]
>  
> Wie beweis ich jetzt noch, dass es 3 und 5 nicht sein
> können?

Betrachte doch $p = 8 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 5 [mm] \cdot \prod_{i=1}^n q_i [/mm] - 1$. Dann ist $p$ garantiert nicht durch 3 und 5 teilbar, und es gilt immer noch $p [mm] \equiv [/mm] 7 [mm] \pmod{8}$. [/mm]

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Unendl. viele Primzahlen mod 8: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mi 30.01.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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