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| Aufgabe | Bestimmen sie folgende uneigentliche Integrale:
c) [mm] \integral_{0}^{4}{\bruch{1}{(x-2)^2} dx} [/mm] |
Also das problem dürfte hier bei x=2 liegen.
Also wollte ich das Integral folgendermaßen aufspalten:
[mm] \limes_{z\rightarrow2} \integral_{0}^{z}{\bruch{1}{(x-2)^2} dx}+\limes_{t\rightarrow2} \integral_{t}^{4}{\bruch{1}{(x-2)^2} dx}
[/mm]
Dann wollte ich das ganze substituieren, also
w=x-2
dw=dx
[mm] \limes_{z\rightarrow2} \integral_{-2}^{z-2}{\bruch{1}{w^2} dw}+\limes_{t\rightarrow2} \integral_{t-2}^{2}{\bruch{1}{w^2} dw}
[/mm]
[mm] =\limes_{z\rightarrow2} [-\bruch{1}{w}]^{z-2}_{-2}+\limes_{t\rightarrow2} [-\bruch{1}{w}]^{2}_{t-2}
[/mm]
= [mm] \limes_{z\rightarrow2} -(\bruch{1}{z-2}-(-\bruch{1}{2})+\limes_{t\rightarrow2}(-\bruch{1}{2}-(-\bruch{1}{(t-2)}))
[/mm]
Nun habe ich etwas, was nicht konvergiert, also konvergiert das Integral nicht.
Aber so ganz formal korrekt scheint mir das ganze dennoch nicht zu sein.
Ist das ergebnis so erstmal richtig ?
Darf ich das formal so aufschreiben ?
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Hallo,
> Bestimmen sie folgende uneigentliche Integrale:
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> c) [mm]\integral_{0}^{4}{\bruch{1}{(x-2)^2} dx}[/mm]
> Also das
> problem dürfte hier bei x=2 liegen.
>
> Also wollte ich das Integral folgendermaßen aufspalten:
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> [mm]\limes_{z\rightarrow2} \integral_{0}^{z}{\bruch{1}{(x-2)^2} dx} \limes_{t\rightarrow2} \integral_{t}^{4}{\bruch{1}{(x-2)^2} dx}[/mm]
>
> Dann wollte ich das ganze substituieren, also
>
> w=x-2
> dw=dx
>
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow2} \integral_{-2}^{z-2}{\bruch{1}{w^2} dw}+\limes_{t\rightarrow2} \integral_{t-2}^{2}{\bruch{1}{w^2} dw}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{z\rightarrow2} [-\bruch{1}{w}]^{z-2}_{-2}+\limes_{t\rightarrow2} [-\bruch{1}{w}]^{2}_{t-2}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{z\rightarrow2} -(\bruch{1}{z-2}-(-\bruch{1}{2})+\limes_{t\rightarrow2}(-\bruch{1}{2}-(-\bruch{1}{(t-2)}))[/mm]
>
> Nun habe ich etwas, was nicht konvergiert, also konvergiert
> das Integral nicht.
> Aber so ganz formal korrekt scheint mir das ganze dennoch
> nicht zu sein.
Das würde ich so gar nicht sagen. Deine Überlegung ist doch völlig richtig, und auch das mit der Substitution kann man machen, es ist hier einfach nur unntötig, weil man für gewöhnlich so etwas wie
[mm] \int{\bruch{1}{(x-a)^2} dx}=-\bruch{1}{x-a}+C
[/mm]
voraussetzen darf.
Und um die Grenzwertbetrachtung kommst du auf keinen Fall herum. In diesem Zusammenhang ist dir allerdings der einzige formale Fehler unterlaufen: es muss natürlich bei beiden Grenzwerten noch dazugesagt werden, ob es sich um rechts- oder linksseitige Grenzwerte handelt (davon hängt in diesem Fall das Vorzeichen ab!).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 So 28.04.2013 | | Autor: | Hellsing89 |
> Hallo,
>
> > Bestimmen sie folgende uneigentliche Integrale:
> >
> > c) [mm]\integral_{0}^{4}{\bruch{1}{(x-2)^2} dx}[/mm]
> > Also das
> > problem dürfte hier bei x=2 liegen.
> >
> > Also wollte ich das Integral folgendermaßen
> aufspalten:
> >
> > [mm]\limes_{z\rightarrow2} \integral_{0}^{z}{\bruch{1}{(x-2)^2} dx} \limes_{t\rightarrow2} \integral_{t}^{4}{\bruch{1}{(x-2)^2} dx}[/mm]
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> >
> > Dann wollte ich das ganze substituieren, also
> >
> > w=x-2
> > dw=dx
> >
> >
> > [mm]\limes_{z\rightarrow2} \integral_{-2}^{z-2}{\bruch{1}{w^2} dw}+\limes_{t\rightarrow2} \integral_{t-2}^{2}{\bruch{1}{w^2} dw}[/mm]
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> >
> > [mm]=\limes_{z\rightarrow2} [-\bruch{1}{w}]^{z-2}_{-2}+\limes_{t\rightarrow2} [-\bruch{1}{w}]^{2}_{t-2}[/mm]
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> > = [mm]\limes_{z\rightarrow2} -(\bruch{1}{z-2}-(-\bruch{1}{2})+\limes_{t\rightarrow2}(-\bruch{1}{2}-(-\bruch{1}{(t-2)}))[/mm]
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> > Nun habe ich etwas, was nicht konvergiert, also
> konvergiert
> > das Integral nicht.
> > Aber so ganz formal korrekt scheint mir das ganze
> dennoch
> > nicht zu sein.
>
> Das würde ich so gar nicht sagen. Deine Überlegung ist
> doch völlig richtig, und auch das mit der Substitution
> kann man machen, es ist hier einfach nur unntötig, weil
> man für gewöhnlich so etwas wie
>
> [mm]\int{\bruch{1}{(x-a)^2} dx}=-\bruch{1}{x-a}+C[/mm]
>
> voraussetzen darf.
>
> Und um die Grenzwertbetrachtung kommst du auf keinen Fall
> herum. In diesem Zusammenhang ist dir allerdings der
> einzige formale Fehler unterlaufen: es muss natürlich bei
> beiden Grenzwerten noch dazugesagt werden, ob es sich um
> rechts- oder linksseitige Grenzwerte handelt (davon hängt
> in diesem Fall das Vorzeichen ab!).
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> Gruß, Diophant
Ah okay vielen dank :)
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