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| Aufgabe | | Berechnen Sie das uneigentliche Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{ln(x)}{x^2} dx}. [/mm] |
Hallo.
Es ist lange her, dass ich uneigentliche Integrale behandelt habe. Deshalb würde ich jemanden bitten über meinen Beweis drüber zu schauen.
Lösung des Integrals mittel partieller Integration
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{ln(x)}{x^2} dx} [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{1}^{n}{\frac{ln(x)}{x^2} dx} [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-ln(n)}{n}+1*0] [/mm] - [mm] \integral_{1}^{n}{\frac{-1}{x^2} dx}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-ln(n)}{n}] [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{1}{n} [/mm] - 1)
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-ln(n)}{n}] [/mm] + 1
Betrachte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-ln(n)}{n}] [/mm] und wende die Regeln von l^Hospital an:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-ln(n)}{n}] [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-\frac{d}{dn}ln(n)}{\frac{d}{dn}n}] [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{\frac{-1}{n}}{1}] [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-\frac{1}{n})=0
[/mm]
Somit beträgt der Wert des Integrals [mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{ln(x)}{x^2} dx} [/mm] = 1
Ist dies so korrekt?
Lieben Gruß
Roughi
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Hallo RoughNeck,
> Berechnen Sie das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\frac{ln(x)}{x^2} dx}.[/mm]
>
> Hallo.
> Es ist lange her, dass ich uneigentliche Integrale
> behandelt habe. Deshalb würde ich jemanden bitten über
> meinen Beweis drüber zu schauen.
>
> Lösung des Integrals mittel partieller Integration
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\frac{ln(x)}{x^2} dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{1}^{n}{\frac{ln(x)}{x^2} dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-ln(n)}{n}+1*0][/mm] -
> [mm]\integral_{1}^{n}{\frac{-1}{x^2} dx}[/mm]
Der Limes ist von dem ganzen Ausdruck zu bilden:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \ [\frac{-ln(n)}{n}+1*0] -
\integral_{1}^{n}{\frac{-1}{x^2} dx} \ \right)[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-ln(n)}{n}][/mm] -
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{1}{n}[/mm] - 1)
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-ln(n)}{n}][/mm] + 1
>
> Betrachte [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-ln(n)}{n}][/mm]
> und wende die Regeln von l^Hospital an:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-ln(n)}{n}][/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{-\frac{d}{dn}ln(n)}{\frac{d}{dn}n}][/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} [\frac{\frac{-1}{n}}{1}][/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (-\frac{1}{n})=0[/mm]
>
> Somit beträgt der Wert des Integrals
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\frac{ln(x)}{x^2} dx}[/mm] = 1
>
> Ist dies so korrekt?
>
Das Ergebnis stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Lieben Gruß
> Roughi
Gruss
MathePower
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