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Hallo,
hab mal wieder ne Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiter komme, hoffe auf Hilfe.
Überprüfe das folgende uneigentliche Integral auf Konvergenz:
[mm] \integral_{0}^{2} {\bruch{dx}{ln(x)}}
[/mm]
Ich hoffe es kann wer helfen.
mfg
Berndte
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Hallo Berndte!
[mm]\integral_{0}^{2} {\bruch{dx}{\ln(x)}}[/mm]
Zunächst einmal mußt Du dieses Integral zerlegen, da innerhalb des zu integrierenden Intervalles eine Polstelle vorliegt bei [mm] $x_P [/mm] \ = \ 1$ :
[mm]\integral_{0}^{2} {\bruch{dx}{\ln(x)}} \ = \ \integral_{0}^{1} {\bruch{dx}{\ln(x)}} + \integral_{1}^{2} {\bruch{dx}{\ln(x)}}[/mm]
Nun haben wir zwei uneigentliche Integral zu untersuchen:
[1.] [mm]\integral_{0}^{1} {\bruch{dx}{\ln(x)}} \ = \ \limes_{\varepsilon_1 \rightarrow 1} \integral_{0}^{\varepsilon_1} {\bruch{dx}{\ln(x)}}[/mm]
[2.] [mm]\integral_{1}^{2} {\bruch{dx}{\ln(x)}} \ = \ \limes_{\varepsilon_2 \rightarrow 1} \integral_{\varepsilon_2}^{2} {\bruch{dx}{\ln(x)}}[/mm]
Für den Nachweis der Konvergenz bzw. Divergenz solltest Du diese beiden Integrale mal abschätzen gegenüber bekannte Integrale.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Sieh Dir mal dazu meine Skizze an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und, zu welchem Ergebnis kommst Du: Konvergenz oder Divergenz ??
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:59 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Berndte2002 |
Hallo,
Danke erstmal für die Antwort.
Es gilt folgende Regel für die Abschätzung, die ich benutzt habe:
Wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\varepsilon}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = k mit [mm] k\not=0 [/mm] und [mm] k\not=\infty
[/mm]
dann entweder [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] f(x) dx und [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] g(x) dx beide konvergent oder beide divergent
Sei f(x) = [mm] \bruch{1}{ln(x)} [/mm] und
g(x) = [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] für [mm] \integral_{1}^{2} {\bruch{dx}{ln(x)}}
[/mm]
g(x) = [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] für [mm] \integral_{0}^{1} {\bruch{dx}{ln(x)}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{x-1}{ln(x)} [/mm] = [mm] ["\bruch{0}{0}"] [/mm] -> de l'Hostpital = [mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{1}{\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow1}x [/mm] = 1
Dies ist dann -1 für die zweite Variante.
[mm] \integral_{1}^{2} {\bruch{dx}{(x-1)^{\alpha}}} [/mm] und [mm] \integral_{0}^{1} {\bruch{dx}{(1-x)^{\alpha}}} [/mm] sind beide divergent für [mm] \alpha=1.
[/mm]
Somit ist auch [mm] \integral_{0}^{2} {\bruch{dx}{ln(x)}} [/mm] divergent.
Richtig soweit?
Danke
mfg
Berndte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Berndte!
Ich muß gestehen, diese Sätze, die Du verwendet hast, kenne ich nicht ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") .
(Was jetzt nicht heißen soll, daß dieser Weg falsch sei ... !!)
Meine Idee war halt, die Divergenz des Integrales über Minoranten der beiden Abschnittsintegrale nachzuweisen.
[mm]\integral_{1}^{2} {\bruch{dx}{\ln(x)}} \ \red{>} \ \integral_{1}^{2} {\bruch{dx}{x-1}}[/mm]
bzw.
[mm]\integral_{0}^{1} {\bruch{dx}{\ln(x)}} \ \red{>} \ \integral_{0}^{1} {\bruch{1}{x-1} + 1 \ dx}[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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