Uneigentliches Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Sa 19.03.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo,
ich habe mal wieder eine Frage:
[mm] \integral_{1+}^{2} { \bruch{dx}{\ln\,x}} [/mm] ist divergent.
Argumentiert wird wie folgt:
nach l'Hospital ist [mm] \limes_{x\rightarrow\,1+} \bruch{\ln\,x}{x-1} = \limes_{x\rightarrow\,1+} \bruch{1/x}{1} = 1 [/mm]
nach dem Grenzwertkriterium haben [mm] \integral_{1+}^{2} { \bruch{dx}{\ln\,x}}[/mm] und [mm] \integral_{1+}^{2} { \bruch{dx}{x-1}} [/mm] dasselbe Konvergenzverhalten, das zweite ist divergent, damit folgt die Behauptung.
Der Argumentation kann ich auch folgen, jedoch verstehe ich nicht wie der Term [mm]\ \bruch{\ln\,x}{x-1} \ [/mm] entstanden ist.
Ich würde mich freuen wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Vielen Dank im Voraus
Samoth
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Hi, Samoth,
Die beiden Funktionen f und g mit den Funktionstermen
f(x) = [mm] \bruch{1}{ln(x)} [/mm] und
g(x) = [mm] \bruch{1}{x-1}
[/mm]
besitzen beide an der Stelle x=1 einen Pol, weswegen dort schon mal kein bestimmtes Integral möglich ist.
Weiter gilt für x>1:
f(x) > g(x),
da: x-1 > ln(x) <=> [mm] \bruch{1}{ln(x)} [/mm] > [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] (für x>1 sind sowohl x-1>0 als auch ln(x)>0).
Somit ist der Funktionsgraph von f immer oberhalb des Graphen von g.
Aus alldem (und natürlich dem bereits von Dir angegebenen Grenzwert) ergibt sich, dass die Funktion g optimal geeignet ist, das Konvergenzkriterium zu verwenden!
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