Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Di 10.06.2008 | | Autor: | Achilles |
| Aufgabe | Bestimmen Sie dieses uneigentliche Integral und dokumentieren Sie ausreichend den Rechenweg und die Grenzwerte (inkl. Begründung!):
[mm] I=\integral_{5}^{\infty}{x*e^{-(5+1)*x} dx}
[/mm]
Drücken Sie das Ergebnis NICHT als Dezimalzahl aus sondern in der Form
[mm] I=\bruch{a}{b}*e^{...}
[/mm]
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Kann mir wohl jemand erklären wie ich das mache?
Hab überhaupt keine Ahnung wie und wo ich anfangen soll.
Vielen Dank schonmal in voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Di 10.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Steht im Exponenten wirklich
-(5+1)x
???
FRED
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Ja -(5+1)*x
Die 5 musste ich aus einer vorherigen Lösung einsetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 10.06.2008 | | Autor: | fred97 |
also -6x ?
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Ja genau.
Ich wollte lediglich die Aufgabe korrekt wiedergeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Di 10.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Für t>5 berechne mit partieller Integration das Integral von 5 bis t.
Lasse dann t gegen unendlich gehen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Di 10.06.2008 | | Autor: | Achilles |
was fürn t???
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Marc,
naja, du hast ja ein unbestimmtes Integral
$\int\limits_{5}^{\infty}x\cdot{}e^{-6x} \ dx}$
Da musst du ja ne feste obere Grenze t (t>5) nehmen, das Integral in den Grenzen 5 bis t (mittels partieller Integration - s. Freds Antwort) berechnen und davon den $\lim\limits_{t\to\infty}$ betrachten.
Berechne also $\lim\limits_{t\to\infty}\int\limits_{5}^{t}{x\cdot{}e^{-6x} \ dx}$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Di 10.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Achso ok.
Dann versuch ich das mal.
Vielen Dank für die Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Di 10.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ich habe jetzt folgendes berechnet:
[mm] I(t)=\integral_{5}^{t}{x*e^{-6x} dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{6}*x*e^{-6x}-\bruch{1}{6}*\integral_{5}^{t}{e^{-6x} dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [\bruch{1}{6}*x*e^{-6x}-\bruch{1}{36}*e^{-6x}+C_{1}]_{5}^{t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -4\bruch{5}{6}-\bruch{1}{6}*t*e^{-6t}-\bruch{1}{36}*e^{-6t}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
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Hi Marc,
da hast du einige Minuszeichen verschlabbert:
> Ich habe jetzt folgendes berechnet:
> [mm]I(t)=\integral_{5}^{t}{x*e^{-6x} dx}[/mm]
[mm] $\red{=} \blue{-}\bruch{1}{6}*x*e^{-6x}\blue{+}\bruch{1}{6}*\integral_{5}^{t}{e^{-6x} dx}$
[/mm]
keine Folgerungspfeile, du machst hier nur ne Termumformung !
Eine Stammfunktion von [mm] $e^{-6x}$ [/mm] ist [mm] $-\frac{1}{6}\cdot{}e^{-6x}$
[/mm]
> [mm]\Rightarrow [\bruch{1}{6}*x*e^{-6x}-\bruch{1}{36}*e^{-6x}+C_{1}]_{5}^{t}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -4\bruch{5}{6}-\bruch{1}{6}*t*e^{-6t}-\bruch{1}{36}*e^{-6t}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Nicht ganz, rechne mit der "verbesserten" Stammfkt. nochmal nach...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 10.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ich habe dann folgende Gleichung herausbekommen.
[mm] 24\bruch{1}{6}-\bruch{1}{6}\cdot{}t\cdot{}e^{-6t}-\bruch{1}{36}\cdot{}e^{-6t}.
[/mm]
Jetzt richtig?
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Hallo nochmal,
> Ich habe dann folgende Gleichung herausbekommen.
>
> [mm]24\bruch{1}{6}-\bruch{1}{6}\cdot{}t\cdot{}e^{-6t}-\bruch{1}{36}\cdot{}e^{-6t}.[/mm]
>
> Jetzt richtig?
das ist irgendwie komisch, nach dem ersten Schritt der partiellen Integration waren wir bei: (ich lasse mal die Grenzen weg und schreibe sie erst am Schluss wieder hin)
[mm] $\int{xe^{-6x} \ dx}=-\frac{1}{6}xe^{-6x}+\frac{1}{6}\int{e^{-6x} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{6}xe^{-6x}+\frac{1}{6}\cdot{}\left(-\frac{1}{6}\right)e^{-6x}=e^{-6x}\cdot{}\left(-\frac{1}{6}x-\frac{1}{36}\right)$
[/mm]
Da nun mal die Grenzen eingesetzt: obere: [mm] \red{x=t}, [/mm] untere: [mm] \blue{x=5}
[/mm]
[mm] $=e^{-6\red{t}}\cdot{}\left(-\frac{1}{6}\red{t}-\frac{1}{36}\right)-\left[e^{-6\cdot{}\blue{5}}\cdot{}\left(-\frac{1}{6}\cdot{}\blue{5}-\frac{1}{36}\right)\right]$
[/mm]
[mm] $=e^{-6t}\cdot{}\left(-\frac{1}{6}t-\frac{1}{36}\right)+\frac{31}{36}\cdot{}\frac{1}{e^{30}}$
[/mm]
Nun musst du überlegen, was mit dem ersten Teil [mm] $e^{-6t}\cdot{}\left(-\frac{1}{6}t-\frac{1}{36}\right)$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$ [/mm] passiert...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Di 10.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok. Ich hab meinen Fehler gefunden.
Wenn ich also nun [mm] t\to\infty [/mm] auflöse erhalte ich ja einen so kleinen Wert, dass ich ihn vernachlässigen kann und habe als Endergebnis dann quasi nur noch:
[mm] \bruch{31}{36}*\bruch{1}{e^{30}}
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Di 10.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Achilles!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das stimmt soweit! Allerdings solltest Du das mit [mm] $\limes_{t\rightarrow\infty}e^{-6*t}*\left(...\right) [/mm] \ = \ 0$ mittels Grenzwertermittlung begründen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 10.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Du meinst ich sollte für t einen Wert einsetzen und dann ausrechnen?
Wieso setzt du die Gleichung gleich Null?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Di 10.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Also diese Regel kenn ich leider nicht.
Wie genau funktioniert das denn?
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Hallo Marc,
ohne de l'Hôpital ist das lästig 
L'Hôpital funktioniert kurz gesagt so:
Wir haben hier den Ausdruck (Quotienten) [mm] $\frac{f(t)}{g(t)}=\frac{-\frac{1}{6}t-\frac{1}{36}}{e^{6t}}$
[/mm]
Das Biest strebt für [mm] $t\to\infty$ [/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $-\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Dann kannst du Zähler und Nenner getrennt ableiten und von dem Ausdruck, den du dabei erhältst, nochmal den Limes für [mm] $t\to\infty$ [/mm] ansehen.
Wenn der existiert, so ist [mm] $\lim\limits_{t\to\infty}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim\limits_{t\to\infty}\frac{f'(t)}{g'(t)}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Di 10.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Habe den Quotienten nun abgeleitet und folgendes herausbekommen:
[mm] \bruch{-\bruch{1}{6}}{e^{-6t}}
[/mm]
Wenn ich hier nun [mm] t\to\infty [/mm] laufen lassen, so erhalte ich doch folgendes:
[mm] \bruch{-\bruch{1}{6}}{0}
[/mm]
Was aber nicht möglich ist, da ich ja nicht durch null dividieren darf.
Hab ich da jetzt was falsch gemacht?
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Hallo,
> Habe den Quotienten nun abgeleitet und folgendes
> herausbekommen:
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{6}}{e^{-6t}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Ableitung des Zählers stimmt, im Nenner stand aber $e^{\red{+}6t}$
Das gibt abgeleitet $6e^{6t}}$
> Wenn ich hier nun [mm]t\to\infty[/mm] laufen lassen, so erhalte ich
> doch folgendes:
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{6}}{0}[/mm]
Das würde so gegen [mm] -\infty [/mm] divergieren
> Was aber nicht möglich ist, da ich ja nicht durch null
> dividieren darf.
> Hab ich da jetzt was falsch gemacht?
Nach getrennter Ableitung von Zähler und Nenner bekommst du richtigerwiese:
[mm] $\frac{-\frac{1}{6}}{6\cdot{}e^{6t}}=-\frac{1}{36\cdot{}e^{6t}}$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $t\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $-\frac{1}{\infty}=0$
[/mm]
(etwas leger aufgeschrieben)
Also strebt der erste Teil des unbestimmten Integrals gegen 0, genauso, wie es sein sollte
Welchen Wert hat also dein Ausgangsintegral?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Di 10.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Wie kommst du denn auf das "plus" vor 6*t?
[mm] \bruch{31}{36}*\bruch{1}{e^{30}}
[/mm]
Hoffe ich zumindest 
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Hallo,
> Wie kommst du denn auf das "plus" vor 6*t?
Naja, der "erste Teil", den es zu untersuchen galt, lautet ja [mm] $e^{-6t}\cdot{}\left(-\frac{1}{6}t-\frac{1}{36}\right)$
[/mm]
Nun ist doch ne Potenzregel [mm] $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$
[/mm]
Ich habe also das [mm] $e^{-6x}$ [/mm] in den Nenner geschrieben, weil man für de l'Hôpital einen Quotienten braucht, also
[mm] $=\frac{-\frac{1}{6}t-\frac{1}{36}}{e^{6t}}$
[/mm]
> [mm]\bruch{31}{36}*\bruch{1}{e^{30}}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Hoffe ich zumindest
ganz genau!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok, dann schau ich mir die Sache nochmal in Ruhe an.
Vielen Dank für deine großen Hilfen und einen schönen Abend noch.
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