Uneigentliches Integral < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mo 30.05.2016 | | Autor: | Lars.P |
| Aufgabe | Mit Hilfe der Aussagen des Majorantenkriterium und Minorantenkriterium für Integrale sollen Sie entscheiden über die Konvergenz folgender uneigentlicher Integrale.
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{cos(x)}{x} dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{log(x)} dx} [/mm] |
a) ich habe [mm] e^{-x^{2}} \le [/mm] e^_{-x} gewählt.
und dann [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x} dx} [/mm] betrachtet.
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{e^{-x} dx}= \limes_{n\rightarrow\infty}[-e^{-x}]_{0}^{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}-e^{-b}+e^{0}=1 [/mm]
deshalb ist [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] konvergent.
b) hab ich versucht nach mit [mm] \bruch{cos(x)}{x}\le \bruch{1}{x} [/mm] abzuschätzen hatte dann aber Probleme dann mit dem einsetzten der ,,0''.
Hab dann überlegt nach unten abzuschätzen mit [mm] cos(x)\le\bruch{cos(x)}{x}. [/mm] Dieser weg brachte mir nur die aussage dass cos(x) konvergent ist. Aber daraus kann ich ja nichts folgen.
c)
abschätzung nach oben [mm] \bruch{1}{log(x)}\le\bruch{1}{x}.
[/mm]
[mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{2}^{n}{\bruch{1}{x} dx}= \limes_{n\rightarrow\infty} [ln(x)]_{2}^{n}=ln(n)-ln(2)=\infty [/mm]
also divergent
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mo 30.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Mit Hilfe der Aussagen des Majorantenkriterium und
> Minorantenkriterium für Integrale sollen Sie entscheiden
> über die Konvergenz folgender uneigentlicher Integrale.
> a) [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> b)
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{cos(x)}{x} dx}[/mm]
> c)
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{log(x)} dx}[/mm]
> a) ich habe
> [mm]e^{-x^{2}} \le[/mm] e^_{-x} gewählt.
> und dann [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x} dx}[/mm] betrachtet.
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{e^{-x} dx}= \limes_{n\rightarrow\infty}[-e^{-x}]_{0}^{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}-e^{-b}+e^{0}=1[/mm]
> deshalb ist [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> konvergent.
>
O.K.
> b) hab ich versucht nach mit [mm]\bruch{cos(x)}{x}\le \bruch{1}{x}[/mm]
> abzuschätzen hatte dann aber Probleme dann mit dem
> einsetzten der ,,0''.
> Hab dann überlegt nach unten abzuschätzen mit
> [mm]cos(x)\le\bruch{cos(x)}{x}.[/mm] Dieser weg brachte mir nur die
> aussage dass cos(x) konvergent ist. Aber daraus kann ich ja
> nichts folgen.
cos (x) [mm] \ge [/mm] cos (1) für x zwischen 0 und 1.
>
> c)
> abschätzung nach oben [mm]\bruch{1}{log(x)}\le\bruch{1}{x}.[/mm]
wo hast du das denn her ? stimmen tut nicht.
fred
>
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{2}^{n}{\bruch{1}{x} dx}= \limes_{n\rightarrow\infty} [ln(x)]_{2}^{n}=ln(n)-ln(2)=\infty[/mm]
> also divergent
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mo 30.05.2016 | | Autor: | Lars.P |
Bei $ [mm] \bruch{1}{log(x)}\le\bruch{1}{x}. [/mm] $ habe ich [mm] \le [/mm] anstatt [mm] \ge [/mm] geschrieben. Da habe ich mich vertan.
es Müsste
[mm] \bruch{1}{log(x)}\ge\bruch{1}{x} [/mm] sein sonst würde ja meine Folgerung auch kein Sinn ergeben. wäre ja das Minorantenkriterium.
Bei b) versteh ich deine Aussage nicht. Meinst du jetzt [mm] \bruch{cos(x)}{x}\ge [/mm] cos(x) oder meinst du [mm] cos(x)\ge\bruch{cos(x)}{x}.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mo 30.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Bei [mm]\bruch{1}{log(x)}\le\bruch{1}{x}.[/mm] habe ich [mm]\le[/mm] anstatt
> [mm]\ge[/mm] geschrieben. Da habe ich mich vertan.
> es Müsste
> [mm]\bruch{1}{log(x)}\ge\bruch{1}{x}[/mm] sein sonst würde ja meine
> Folgerung auch kein Sinn ergeben. wäre ja das
> Minorantenkriterium.
dann ist es o.k.
>
> Bei b) versteh ich deine Aussage nicht. Meinst du jetzt
> [mm]\bruch{cos(x)}{x}\ge[/mm] cos(x) oder meinst du
> [mm]cos(x)\ge\bruch{cos(x)}{x}.[/mm]
>
multipliziere die von mir angegebene Ungleichung mit 1/x .....
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 30.05.2016 | | Autor: | Lars.P |
das wäre dann ja [mm] \bruch{cos(x)}{x}\ge \bruch{cos(1)}{x}. [/mm]
wenn ich danach geh würde ich ja [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{cos(1)}{x} dx}betrachten. [/mm] Ich würde als erstes [mm] cos(1)\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] machen und dass würde ja zu [mm] cos(1)*\limes_{n\rightarrow 1}\integral_{0}^{n}{\bruch{1}{x} dx}=cos(1)\limes_{n\rightarrow 1}[ln(x)]_{0}^{n}= cos(1)*\limes_{n\rightarrow 1}ln(n)-ln(0)= [/mm] dann hätte ich dort ein problem da Ln(0) nicht definiert ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mo 30.05.2016 | | Autor: | Stala |
Darum musst du ja auch nicht den Grenzwert gegen 1, sondern den gegen 0 betrachten.
Da strebt der Logarithmus nämlich ins Unendliche...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 30.05.2016 | | Autor: | Lars.P |
Also: $ [mm] cos(1)\cdot{}\limes_{n\rightarrow 0}\integral_{n}^{1}{\bruch{1}{x} dx}=cos(1)\limes_{n\rightarrow 0}[ln(x)]_{n}^{1}= cos(1)\cdot{}\limes_{n\rightarrow 0}ln(1)-ln(n)= \infty$ [/mm] und somit wäre es divergent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mo 30.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Also: [mm]cos(1)\cdot{}\limes_{n\rightarrow 0}\integral_{n}^{1}{\bruch{1}{x} dx}=cos(1)\limes_{n\rightarrow 0}[ln(x)]_{n}^{1}= cos(1)\cdot{}\limes_{n\rightarrow 0}ln(1)-ln(n)= \infty[/mm]
> und somit wäre es divergent
so ist es
fred
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