Uneigentliche Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mo 17.10.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo zusammen,
Im Kapitel "Die Menge [mm] \overline{\IR}" [/mm] des Buches "Analysis I" von Wolfgang Walter steht am Ende folgende Bemerkung:
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Wenn man die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte in der Menge [mm] \IQ [/mm] definiert, wie es Dedekind getan hat, dann liegt die Definition [mm] -\infty:=\{\emptyset|\IQ\}, \infty:=\{\IQ|\emptyset\} [/mm] nahe. Damit hat man eine Definition "zum Anfassen", und ausserdem bekommen so die zwei bei Dedekind verbotenen Schnitte - es wird ja verlangt, dass beide Mengen des Schnittes nichtleer sind - einen Sinn.
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Wie ist diese Definition zu lesen oder zu verstehen?
Weiter werden in diesem Kapitel [mm] -\infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] als "uneigentliche Zahlen", oder es ist von einer "Redensart" die Rede. Ist damit gemeint, dass diese beiden Symbole etwas darstellen, was nicht genau definiert ist, sondern nur sehr weit in der Ferne liegt?
Vielen Dank für Eure Hilfe und Gruss
Gilles
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Di 18.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wenn man die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte in
> der Menge [mm]\IQ[/mm] definiert, wie es Dedekind getan hat, dann
> liegt die Definition [mm]-\infty:=\{\emptyset|\IQ\}, \infty:=\{\IQ|\emptyset\}[/mm]
> nahe. Damit hat man eine Definition "zum Anfassen", und
> ausserdem bekommen so die zwei bei Dedekind verbotenen
> Schnitte - es wird ja verlangt, dass beide Mengen des
> Schnittes nichtleer sind - einen Sinn.
[...]
> Wie ist diese Definition zu lesen oder zu verstehen?
So wie es da steht?!? Im Ernst: [m]-\infty[/m] soll kleiner als rationalen Zahlen sein - das ist doch konsistent mit dem Schnitt, oder??! Wo liegt das Problem? Es ist halt auch eine Definition.
> Weiter werden in diesem Kapitel [mm]-\infty[/mm] und [mm]\infty[/mm] als
> "uneigentliche Zahlen", oder es ist von einer "Redensart"
> die Rede. Ist damit gemeint, dass diese beiden Symbole
> etwas darstellen, was nicht genau definiert ist, sondern
> nur sehr weit in der Ferne liegt?
Es sind keine richtigen Zahlen, da man mit ihnen nicht rechnen kann wie mit den andren, "normalen" Zahlen - es gelten also die Rechenregeln nicht weiter. Es ist genau definiert - aber was herauskommt ist dann kein Körper mehr. Darauf zielt das ab.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Mi 19.10.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo,
Danke für den Hinweis.
Gruss
Gilles
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 19.10.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo zusammen,
Ich habe zu diesem Punkt trotzdem noch eine Frage:
Die Definition [mm] \infty:=\{\IQ|\emptyset\} [/mm] bedeutet ja, dass [mm] \infty [/mm] grösser als alle rationale Zahlen und kleiner als die leere Menge ist.
Der letzte Punkt verstehe ich noch nicht ganz [mm] (\infty [/mm] ist kleiner als [mm] \emptyset). [/mm] Kann man dies deshalb sagen, weil es keine Zahl in der leeren Menge gibt, die ja (natürlich) kleiner als [mm] \infty [/mm] wäre?
Vielen Dank für Eure Hilfe
Gruss
Gilles
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> Die Definition [mm]\infty:=\{\IQ|\emptyset\}[/mm] bedeutet ja, dass
> [mm]\infty[/mm] grösser als alle rationale Zahlen und kleiner als
> die leere Menge ist.
> Der letzte Punkt verstehe ich noch nicht ganz [mm](\infty[/mm] ist
> kleiner als [mm]\emptyset).[/mm] Kann man dies deshalb sagen, weil
> es keine Zahl in der leeren Menge gibt, die ja (natürlich)
> kleiner als [mm]\infty[/mm] wäre?
Hallo Gilles,
Das ist im Westentlichen richtig.
[mm] $\{ \IQ | \emptyset \}$ [/mm] bedeutet, dass die so dargestellte "Zahl" größer oder gleich allen Elementen von [mm] $\IQ$ [/mm] sein muss, und kleiner oder gleich allen Elementen von [mm] $\emptyset$ [/mm] sein muss. Anschaulich ist diese "Zahl" unendlich groß.
Ein etwas greifbareres Beispiel: Die reelle Zahl [mm] $+\wurzel{2}$ [/mm] wird wie folgt als Dedekind'scher Schnitt dargestellt:
$L := [mm] \{ x \in \IQ : x \le 0 \textnormal{ oder } x^2 \le 2 \}$
[/mm]
$R := [mm] \{ x \in \IQ : x>0 \textnormal{ und } x^2 \ge 2 \}$
[/mm]
[mm] $+\wurzel{2} [/mm] = [mm] \{ R | L \}$
[/mm]
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Fr 21.10.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo,
Vielen Dank. Nun habe ich für mich das Kapitel über die reellen Zahlen beinahe (noch nicht ganz) abgeschlossen. Ohne Hilfe wäre mir das nie gelungen!
Gruss
Gilles
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