Uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mi 04.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Berechne folgende Integrale, falls sie konvergent sind:
a) [mm] \integral_{4}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{3}{2}} dx}
[/mm]
[mm] b)\integral_{-\infty}^{\infty}{ x*e^{1-x^2} dx}
[/mm]
[mm] c)\integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx} [/mm] |
Hi!
Ich bin in Sachen Integral leider noch nicht wirklich gut drauf (Schulmathe liegt jetzt auch schon 4 Jahre zurück), deshalb wollte ich hier nachfragen, ob meine Lösungsansätze stimmen:
zu a)
die Stammfunktion müsste hier nach meinem Fnsatz nach [mm] -\bruch{2}{\wurzel{x}} [/mm] sein
nun gilt ja Folgendes:
[mm] \integral_{4}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{3}{2}} dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow+\infty} -\bruch{2}{\wurzel{x}} [/mm] mit oberer Grenze b und unterer Grenze 4
mit den Grenzen eingesetzt ergibt das:
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}-\bruch{2}{\wurzel{b}} -(-\bruch{2}{\wurzel{4}}) [/mm] = 0+1 = 1
also ist das Integral konvergent, richtig??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mi 04.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Berechne folgende Integrale, falls sie konvergent sind:
>
> a) [mm]\integral_{4}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{3}{2}} dx}[/mm]
>
> [mm]b)\integral_{-\infty}^{\infty}{ x*e^{1-x^2} dx}[/mm]
>
> [mm]c)\integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx}[/mm]
>
> Hi!
>
> Ich bin in Sachen Integral leider noch nicht wirklich gut
> drauf (Schulmathe liegt jetzt auch schon 4 Jahre zurück),
> deshalb wollte ich hier nachfragen, ob meine
> Lösungsansätze stimmen:
>
> zu a)
>
> die Stammfunktion müsste hier nach meinem Fnsatz nach
> [mm]-\bruch{2}{\wurzel{x}}[/mm] sein
Right ;)
> nun gilt ja Folgendes:
>
> [mm]\integral_{4}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{3}{2}} dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow+\infty} -\bruch{2}{\wurzel{x}}[/mm] mit
> oberer Grenze b und unterer Grenze 4
Schreib das mal ordentlich auf:
[mm] $\integral_{4}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{3}{2}} dx}=\limes_{b\rightarrow+\infty} [-\bruch{2}{\wurzel{x}}]_{4}^{b}$
[/mm]
>
> mit den Grenzen eingesetzt ergibt das:
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}-\bruch{2}{\wurzel{b}} -(-\bruch{2}{\wurzel{4}})[/mm]
> = 0+1 = 1
> also ist das Integral konvergent, richtig??
Ja.
Gruss,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 04.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
zu $ [mm] c)\integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx} [/mm] $
durch Substitution erhalte ich die Stammfunktion [mm] \bruch{sin(5x)}{5}
[/mm]
hier nun wieder die Grenzen eingesetzt ergibt:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [\bruch{sin(5x)}{5}]_{0}^{\infty} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{sin(5b)}{5} [/mm] - [mm] \bruch{sin(5*0)}{5} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{sin(5b)}{5}
[/mm]
und da der Sinus ja divergiert, divergiert hier auch das Integral, oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mi 04.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
> zu [mm]c)\integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx}[/mm]
>
> durch Substitution erhalte ich die Stammfunktion
> [mm]\bruch{sin(5x)}{5}[/mm]
Mit ein bissel Uebung kann man das auch einfach sehen ;)
>
> hier nun wieder die Grenzen eingesetzt ergibt:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} [\bruch{sin(5x)}{5}]_{0}^{\infty}[/mm]
Gut aufgeschrieben!
> = [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{sin(5b)}{5}[/mm] -
> [mm]\bruch{sin(5*0)}{5}[/mm] = [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{sin(5b)}{5}[/mm]
Du brauchst [mm] $\sin(0)$ [/mm] ja gar nicht auszurechnen, da du ja eh gleich die Divergenz siehst. Also falsch ist es nicht, aber warum. Hier ist es zwar trivial, koennte nur Zeit kosten.
>
> und da der Sinus ja divergiert, divergiert hier auch das
> Integral, oder??
Yes ;)
Gruss,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 04.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Ein Versuch für b) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ x\cdot{}e^{1-x^2} dx} [/mm]
da meine Grenzen hier [mm] -\infty [/mm] und [mm] +\infty [/mm] sind, muss ich ja ein c finden, sodass die beiden Teilintegrale
[mm] \integral_{-\infty}^{c}{f(x) dx} [/mm] und [mm] \integral_{c}^{+\infty}{f(x) dx}
[/mm]
konvergent sind!
Sei c = 0
Zuerst habe ich versucht, wieder die Stammfunktion zu ermitteln! ist mir diesmal jedoch leider nur mit Hilfe eines Integralrechners gelungen:
[mm] \integral{ x\cdot{}e^{1-x^2} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{e^{1-x^2}}{2}
[/mm]
Die Vorgehensweise ist mir grob klar:
ich substituiere [mm] 1-x^2 [/mm] = u und muss dann mit partieller integration das Integral auflösen! Hab hier nur keine Ahnung, warum auf einmal das x wegfällt bzw wie die Stammfunktion jetzt konkret gebildet wird! Vielleicht könnt ihr mir das noch einmal veraunschaulichter darstellen...
Jedenfalls prüfe ich jetzt, ob meine beiden Teilintegrale konvergieren:
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow-\infty}[-\bruch{e^{1-x^2}}{2}]_{-\infty}^{0} [/mm] = [mm] -\bruch{e^1}{2} [/mm] + [mm] \limes_{a\rightarrow-\infty}\bruch{e^{1-a^2}}{2} [/mm] = [mm] -\bruch{e}{2} [/mm] + 0 = [mm] -\bruch{e}{2}
[/mm]
bzw.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}-\bruch{e^{1-b^2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{e^1}{2} [/mm] = [mm] 0+\bruch{e}{2} [/mm] = [mm] \bruch{e}{2}
[/mm]
also gilt, dass das Integral konvergiert und zwar gegen:
[mm] -\bruch{e}{2} [/mm] + [mm] \bruch{e}{2} [/mm] = 0
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mi 04.03.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ein Versuch für b) [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ x\cdot{}e^{1-x^2} dx}[/mm]
>
> da meine Grenzen hier [mm]-\infty[/mm] und [mm]+\infty[/mm] sind, muss ich ja
> ein c finden, sodass die beiden Teilintegrale
> [mm]\integral_{-\infty}^{c}{f(x) dx}[/mm] und
> [mm]\integral_{c}^{+\infty}{f(x) dx}[/mm]
> konvergent sind!
>
> Sei c = 0
>
> Zuerst habe ich versucht, wieder die Stammfunktion zu
> ermitteln! ist mir diesmal jedoch leider nur mit Hilfe
> eines Integralrechners gelungen:
> [mm]\integral{ x\cdot{}e^{1-x^2} dx}[/mm] = [mm]-\bruch{e^{1-x^2}}{2}[/mm]
>
> Die Vorgehensweise ist mir grob klar:
> ich substituiere [mm]1-x^2[/mm] = u und muss dann mit partieller
> integration das Integral auflösen! Hab hier nur keine
partielle Integration brauchst Du nicht, aber die Substitution ist richtig.
Führe die Substitution doch einfach mal durch:
[mm] $\int xe^{1-x^2}\,\mathrm{d}x$ [/mm] wird erstmal zu [mm] $\int xe^{u}\,\mathrm{d}x$
[/mm]
jetzt ersetze [mm] $\mathrm{d}x$ [/mm] durch [mm] $\mathrm{d}u$ [/mm] und staune was passiert.
> Ahnung, warum auf einmal das x wegfällt bzw wie die
> Stammfunktion jetzt konkret gebildet wird! Vielleicht
> könnt ihr mir das noch einmal veraunschaulichter
> darstellen...
>
>
> Jedenfalls prüfe ich jetzt, ob meine beiden Teilintegrale
> konvergieren:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty}[-\bruch{e^{1-x^2}}{2}]_{-\infty}^{0}[/mm]
> = [mm]-\bruch{e^1}{2}[/mm] +
> [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty}\bruch{e^{1-a^2}}{2}[/mm] =
> [mm]-\bruch{e}{2}[/mm] + 0 = [mm]-\bruch{e}{2}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}-\bruch{e^{1-b^2}}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{e^1}{2}[/mm] = [mm]0+\bruch{e}{2}[/mm] = [mm]\bruch{e}{2}[/mm]
>
> also gilt, dass das Integral konvergiert und zwar gegen:
>
> [mm]-\bruch{e}{2}[/mm] + [mm]\bruch{e}{2}[/mm] = 0
>
> Richtig?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Do 05.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Berechne folgende Integrale, falls sie konvergent sind:
d) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx}
[/mm]
e) [mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx} [/mm] |
Noch 2 Aufgaben, bei denen ich unsicher bin ob sie richtig gelöst sind (wollte jetzt keinen eigenen Thread dafür öffnen):
zu d)
durch Substitution komme ich hier auf folgendes Ergebniss:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow1} [-\bruch{3*(1-x)^{\bruch{2}{3}}}{2}]_{0}^{b} [/mm] =
[mm] =\limes_{b\rightarrow1} -\bruch{3*(1-b)^{\bruch{2}{3}}}{2} [/mm] + [mm] -\bruch{3*(1-1)^{\bruch{2}{3}}}{2} [/mm] = 0 + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
das Integral konvergiert also!
----------------------------------------------------------------------------------
zu e)
wieder durch Substitution komme ich auf diese Lösung:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx} [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow0} [\bruch{1}{ln(x)}]_{a}^{\bruch{1}{2}} [/mm] =
[mm] =\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2})} [/mm] - [mm] \limes_{a\rightarrow0} \bruch{1}{ln(a)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) } [/mm] - 0 #da ja der ln(x) gegen [mm] -\infty [/mm] geht, wenn x gegen 0 geht und ln(x) der Nenner im Bruch ist#
[mm] =\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) }
[/mm]
also konvergiert auch dieses Integral!
beide korrekt?
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Hallo dodo1924,
> Berechne folgende Integrale, falls sie konvergent sind:
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> d) [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx}[/mm]
>
> e) [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx}[/mm]
>
> Noch 2 Aufgaben, bei denen ich unsicher bin ob sie richtig
> gelöst sind (wollte jetzt keinen eigenen Thread dafür
> öffnen):
>
> zu d)
> durch Substitution komme ich hier auf folgendes
> Ergebniss:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow1} [-\bruch{3*(1-x)^{\bruch{2}{3}}}{2}]_{0}^{b}[/mm]
> =
>
> [mm]=\limes_{b\rightarrow1} -\bruch{3*(1-b)^{\bruch{2}{3}}}{2}[/mm]
> + [mm]-\bruch{3*(1-1)^{\bruch{2}{3}}}{2}[/mm] = 0 + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> das Integral konvergiert also!
>
> ----------------------------------------------------------------------------------
>
> zu e)
>
> wieder durch Substitution komme ich auf diese Lösung:
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{a\rightarrow0} [\bruch{1}{ln(x)}]_{a}^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> =
>
> [mm]=\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2})}[/mm] - [mm]\limes_{a\rightarrow0} \bruch{1}{ln(a)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) }[/mm] - 0 #da ja der ln(x) gegen
> [mm]-\infty[/mm] geht, wenn x gegen 0 geht und ln(x) der Nenner im
> Bruch ist#
>
> [mm]=\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) }[/mm]
>
> also konvergiert auch dieses Integral!
>
> beide korrekt?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:01 Fr 06.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechne folgende Integrale, falls sie konvergent sind:
>
> d) [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx}[/mm]
>
> e) [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx}[/mm]
>
> Noch 2 Aufgaben, bei denen ich unsicher bin ob sie richtig
> gelöst sind (wollte jetzt keinen eigenen Thread dafür
> öffnen):
>
> zu d)
> durch Substitution komme ich hier auf folgendes
> Ergebniss:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow1} [-\bruch{3*(1-x)^{\bruch{2}{3}}}{2}]_{0}^{b}[/mm]
> =
>
> [mm]=\limes_{b\rightarrow1} -\bruch{3*(1-b)^{\bruch{2}{3}}}{2}[/mm]
> + [mm]-\bruch{3*(1-1)^{\bruch{2}{3}}}{2}[/mm] = 0 + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> das Integral konvergiert also!
>
> ----------------------------------------------------------------------------------
>
> zu e)
>
> wieder durch Substitution komme ich auf diese Lösung:
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{a\rightarrow0} [\bruch{1}{ln(x)}]_{a}^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Eine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x*(ln(x))^2 } [/mm] ist nicht [mm] \bruch{1}{ln(x)}, [/mm] sondern [mm] $-\bruch{1}{ln(x)}$ [/mm] !!
> =
>
> [mm]=\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2})}[/mm] - [mm]\limes_{a\rightarrow0} \bruch{1}{ln(a)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) }[/mm] - 0 #da ja der ln(x) gegen
> [mm]-\infty[/mm] geht, wenn x gegen 0 geht und ln(x) der Nenner im
> Bruch ist#
>
> [mm]=\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) }[/mm]
Der Wert des Integrals ist $= - [mm] \bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) }= \bruch{1}{ln(2) }$
[/mm]
FRED
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> also konvergiert auch dieses Integral!
>
> beide korrekt?
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