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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:48 So 26.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Sei [mm] $S_n:=\{1,3,...,2n-1\}$. [/mm] Finde das größte [mm] $k\in \IN$, [/mm] für das es eine k-elementige Teilmenge von [mm] $S_n$ [/mm] so gibt, dass kein Element dieser Menge ein anderes Element dieser Menge teilt.
Liebe Grüße und Viel Spaß,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Das gesuchte $k$ ist meiner Ansicht nach
$k = n - [mm] \frac{\left[ \frac{2n-1}{3} \right] + 1}{2}$,
[/mm]
wobei $[x]$ die Gaußklammer von $x$ ist.
Begründung:
Dies sind offenbar die Anzahl aller Zahlen, die kleiner als das Dreifache der größten ausgeschlossenen Zahl sind (die kleinsten [mm] $\frac{\left[ \frac{2n-1}{3} \right] + 1}{2}$ [/mm] Zahlen werden ausgeschlossen) . Daher teilen sie sich nicht gegenseitig, denn sonst müssten sie das $n$-Fache einer der anderen Zahlen sein, mit $n [mm] \ge [/mm] 3$, Widerspruch nach Konstruktion.
Ein größeres $k$ kann es nicht geben, denn gehört eines der ersten [mm] $\frac{\left[ \frac{2n-1}{3} \right] + 1}{2}$ [/mm] Zahlen zu der Menge, so muss automatisch das Dreifache dieser Zahl ausgeschlossen werden, q.e.d.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
So, mich hat es gewurmt, dass ich deine Ausführungen bei mehreren Anläufen nicht verstanden habe. Jetzt habe ich aber doch noch ein paar ruhige Minuten gefunden und glaube, sie verstanden zu haben. Eigentlich ja eine rel. einfache Sache - wenn man es weiß und verstanden hat; ich werd's mir merken 
Ich weiß nicht so rceht, was wir mit den bis jetzt ungelösten Aufgaben machen sollen. Ich werde mich auch nochmal an ihnen versuchen, würde aber auch gerne einige neue Aufgaben zur Diskussion stellen, an denen ich mir leider schon die Zähne ausgebissen habe.
Liebe Grüße,
Hanno
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