Unbestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Mi 30.03.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Will die Stammfunktion von:
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(lnx)dx}
[/mm]
bestimmen. |
Hier wende ich die Substitutionsregel an.
u = lnx => [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{lnx}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
dx = du * x
Hier habe ich ein Problem, denn ich will ja das dx durch du erstetzen.
Habe es dann so umgeschrieben:
[mm] \bruch{dx}{x} [/mm] = du
du = [mm] \bruch{dx}{x}
[/mm]
Nun stelle ich das Integral auf:
Das Problem ist nun, dass ich das dx nicht durch das [mm] \bruch{dx}{x} [/mm] ersetzen kann.
Diesen Ausdruck hinzuschreiben wäre ja verkehrt.
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(u)du}
[/mm]
Was macht man denn in so einer Situation?
Habe mir gedacht im Integral noch ein [mm] \bruch{1}{x} [/mm] einzufügen:
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(u)* \bruch{1}{x} dux}
[/mm]
Nun könnte ich kürzen und bekäme dann:
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(u) du}
[/mm]
Aber das Einfügen würde ja die Funktion ändern.
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Hallo zoj!
Aus [mm]u \ := \ \ln(x)[/mm] folgt auch unmittelbar [mm]x \ = \ e^u[/mm] .
Setze dies in Dein neues Integral ein und wende anschließend partielle Integration an.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mi 30.03.2011 | | Autor: | zoj |
OK, die Integration hat geklappt!
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(u)*e^{u}du} [/mm] = [mm] \bruch{e^{u}}{2}(sin(u) [/mm] - cos(u)) +c
u=lnx
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(u)*e^{u}du} [/mm] = [mm] \bruch{e^{lnx}}{2}(sin(lnx) [/mm] - cos(lnx)) +c
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(lnx)*e^{lnx}du} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}(sin(lnx) [/mm] - cos(lnx)) +c
Was ich nicht verstehe ist die Zeile hier:
>Aus $ u \ := \ [mm] \ln(x) [/mm] $ folgt auch unmittelbar $ x \ = \ [mm] e^u [/mm] $
Wocher weiss man das?
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Hallo zoj!
> Was ich nicht verstehe ist die Zeile hier:
> >Aus [mm]u \ := \ \ln(x)[/mm] folgt auch unmittelbar [mm]x \ = \ e^u[/mm]
> Wocher weiss man das?
Das ist die Äquivalenzumfomung der Gleichung $u \ = \ [mm] \ln(x)$ [/mm] nach $x \ = \ ...$ ; hier durch Anwendung der Umkehrfunktion zum Logarithmus.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mi 30.03.2011 | | Autor: | zoj |
Dass [mm] \\a [/mm] = [mm] \ln(x) [/mm] nach x aufgelösst [mm] \\x [/mm] = [mm] \\e^{a} [/mm] ergibt muss mir in der Schule irgendwie entgangen sein.
Wo kann man denn darüber was nachlesen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dass [mm]\\a[/mm] = [mm]\ln(x)[/mm] nach x aufgelösst [mm]\\x[/mm] = [mm]\\e^{a}[/mm] ergibt
> muss mir in der Schule irgendwie entgangen sein.
>
> Wo kann man denn darüber was nachlesen?
http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus
http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Mi 30.03.2011 | | Autor: | zoj |
OK, danke für den Tipp!
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