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| Aufgabe | a) [mm] \integral_{}^{}{cos^{2}(x) dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{}^{}{cosh^{2}(x) dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{a^{2}-x^{2}} dx}
[/mm]
d) [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{a^{2}+x^{2}} dx}
[/mm]
Drücken sie die Ergebnisse in (a) und (b) durch sin x und cos x bzw. sinh x und cosh x aus. |
Mein Ergebnis für Aufgabe a) irritiert mich.
Mein Vorgehen:
[mm] \integral_{}^{}{cos^{2}(x) dx}
[/mm]
f(x)=cos (x) f'(x)=-sin(x)
g'(x)= cos(x) g(x)=sin(x)
(Für die Partielle Integration von cos (x) * cos (x) gilt laut Wiki:
[mm] \integral_{}^{}{f(x)*g'(x) dx} [/mm] = f(x)g(x) - [mm] \integral_{}^{}{f'(x)g(x) dx} [/mm] )
Also setze ich ein:
[mm] \integral_{}^{}{cos^{2}(x) dx} [/mm] = cos(x)*cos(x) - [mm] \integral_{}^{}{- sin(x)*cos(x) dx}
[/mm]
Das fand ich ganz angenehm, da ich das - im Integral rausziehen kann und
[mm] \integral_{}^{}{ sin(x)*cos(x) dx} [/mm] kenne ich, das es [mm] \bruch{sin^{2}(x)}{2} [/mm] ist
Also habe ich das eingesetzt und komme auf
[mm] \integral_{}^{}{cos^{2}(x) dx}= cos^{2}x [/mm] + [mm] \bruch{sin^{2}(x)}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{2cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{cos^{2}(x) + cos^{2}(x) + sin^{2}(x)}{2} [/mm] = 0,5 * [mm] (cos^{2}(x)+1)
[/mm]
Ich werde das Gefühl nicht los, dass ich mich irgendwo auf dem Weg verhauen habe und deswegen habe ich die Frage hier und nirgends sonst gestellt.
Vielen Dank
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Nach etwas rumfummeln kam ich auf:
[mm] \integral_{}^{}{cos^{2}x dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{1- sin^{2}x dx}
[/mm]
= x - [mm] \integral_{}^{}{sin^{2}x dx}
[/mm]
u'=sin(x) u= -cos(x)
v= sin(x) v'=cos(x)
= x + cos(x)sin(x) - [mm] \integral_{}^{}{cos(x)(-1)(cos(x)) dx}
[/mm]
Wie werde ich diese dumme (-1) los? Bzw. wie komme ich hier im allgemeinen weiter.
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Hallo ImminentMatt,
> a) [mm]\integral_{}^{}{cos^{2}(x) dx}[/mm]
> b)
> [mm]\integral_{}^{}{cosh^{2}(x) dx}[/mm]
> c)
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{a^{2}-x^{2}} dx}[/mm]
> d)
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{a^{2}+x^{2}} dx}[/mm]
>
> Drücken sie die Ergebnisse in (a) und (b) durch sin x und
> cos x bzw. sinh x und cosh x aus.
> Mein Ergebnis für Aufgabe a) irritiert mich.
>
> Mein Vorgehen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{cos^{2}(x) dx}[/mm]
>
> f(x)=cos (x) f'(x)=-sin(x)
> g'(x)= cos(x) g(x)=sin(x)
>
> (Für die Partielle Integration von cos (x) * cos (x) gilt
> laut Wiki:
> [mm]\integral_{}^{}{f(x)*g'(x) dx}[/mm] = f(x)g(x) -
> [mm]\integral_{}^{}{f'(x)g(x) dx}[/mm] )
>
> Also setze ich ein:
>
> [mm]\integral_{}^{}{cos^{2}(x) dx}[/mm] = cos(x)*cos(x) -
> [mm]\integral_{}^{}{- sin(x)*cos(x) dx}[/mm]
Bei der partiellen Integration hast Du [mm]g'=\cos\left(x\right)[/mm] gesetzt.
Deshalb ist [mm]g\left(x\right)=\sin\left(x\right)[/mm].
Demnach muss hier stehen:
[mm]\integral_{}^{}{cos^{2}(x) dx} = cos(x)*\red{\sin\left(x\right)}-
\integral_{}^{}{- sin(x)*\red{\sin\left(x\right)} \ dx}[/mm]
>
> Das fand ich ganz angenehm, da ich das - im Integral
> rausziehen kann und
> [mm]\integral_{}^{}{ sin(x)*cos(x) dx}[/mm] kenne ich, das es
> [mm]\bruch{sin^{2}(x)}{2}[/mm] ist
>
> Also habe ich das eingesetzt und komme auf
>
> [mm]\integral_{}^{}{cos^{2}(x) dx}= cos^{2}x[/mm] +
> [mm]\bruch{sin^{2}(x)}{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{2cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{2}[/mm] = [mm]\bruch{cos^{2}(x) + cos^{2}(x) + sin^{2}(x)}{2}[/mm]
> = 0,5 * [mm](cos^{2}(x)+1)[/mm]
>
> Ich werde das Gefühl nicht los, dass ich mich irgendwo auf
> dem Weg verhauen habe und deswegen habe ich die Frage hier
> und nirgends sonst gestellt.
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{a^{2}-x^{2}} dx} [/mm] |
Muss man sich bei so einer Aufgabe das Leben schwer machen oder kann man auch Integrieren durch 'sehen' ? Quasi rückwärts konstruieren, weil mir hier spontan kein schönerer Weg einfällt würde ich daraus
[mm] \bruch{1}{-2x} [/mm] * [mm] \bruch{2}{3} (a^{2}-x^{2})^{ \bruch{3}{2} } [/mm] machen.
Wäre so eine rückwärtskonstruktion legitim oder ist das Ergebnis gar falsch?
Wie würde man das Integral ansonsten aus dem Hut zaubern?
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Hallo ImminentMatt,
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{a^{2}-x^{2}} dx}[/mm]
> Muss man sich bei
> so einer Aufgabe das Leben schwer machen oder kann man auch
> Integrieren durch 'sehen' ? Quasi rückwärts konstruieren,
> weil mir hier spontan kein schönerer Weg einfällt würde
> ich daraus
>
> [mm]\bruch{1}{-2x}[/mm] * [mm]\bruch{2}{3} (a^{2}-x^{2})^{ \bruch{3}{2} }[/mm]
> machen.
>
> Wäre so eine rückwärtskonstruktion legitim oder ist das
> Ergebnis gar falsch?
>
Das Ergebnis ist falsch.
>
> Wie würde man das Integral ansonsten aus dem Hut zaubern?
Mit einer Substitution.
Gruss
MathePower
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