Unbest. Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:41 Do 10.04.2008 | | Autor: | kam |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das unbestimmte Integral
[mm] \integral x^5*\wurzel[3]{x^3+1}dx [/mm] |
Guten Morgen zusammen,
der Tag hat noch gar nicht richtig begonnen, da häng ich schon wieder. Durch die Tipss von gestern konnte ich wieder einige Aufgaben lösen, bei dieser hier fehlt mir aber jeglicher Ansatz.
Wäre euch für einen Ansatz nochmal sehr sehr dankbar. Irgendwann muss ich es ja mal verstehen :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Do 10.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kam!
Substituiere hier den Ausdruck unter der Wurzel: $z \ := \ [mm] x^3+1$
[/mm]
Damit gilt auch: [mm] $x^3 [/mm] \ = \ z-1$ .
Dann sollte man bedenken, dass gilt: [mm] $x^5 [/mm] \ = \ [mm] x^3*x^2$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Do 10.04.2008 | | Autor: | kam |
Hi,
Daraus folgt für mich, [mm] u=x^3+1 [/mm] , [mm] x^3=u-1 [/mm] , [mm] x=\wurzel[3]{(u-1)} [/mm] , [mm] x^2=(\wurzel[3]{(u-1)})^2 [/mm] , [mm] \bruch{du}{dx}=3x^2 [/mm] , [mm] dx=\bruch{1}{3x^2}du
[/mm]
[mm] \integral x^3*x^2*\wurzel[3]{(x^3+1)}dx
[/mm]
und dann kann ich ja substituieren, allerdings vereinfacht sich der Ausdruck dann für mich nicht unbedingt. Oder denk ich einfach noch zu kompliziert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Do 10.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kam!
Es geht wirklich einfacher ...
$$u \ := \ [mm] x^3+1 [/mm] \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ [mm] x^3 [/mm] \ = \ u-1$$
$$u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ [mm] 3x^2 [/mm] \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ dx \ = \ [mm] \bruch{du}{3x^2}$$
[/mm]
Damit wird:
[mm] $$\integral{x^5*\wurzel[3]{x^3+1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\blue{x^3}*x^2*\wurzel[3]{\red{x^3+1}} \ \green{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\blue{(u-1)}*x^2*\wurzel[3]{\red{u}} \ \green{\bruch{du}{3x^2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\integral{(u-1)*\wurzel[3]{u} \ du} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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