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| Aufgabe | Sei [mm] $(X_n)$ [/mm] eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten reellwertigen Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P)$.
[/mm]
Sei [mm] $T\colon (\Omega,\mathcal{A})\to\mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $\left\{T=n\right\}\in\sigma(X_1,\ldots,X_n)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$.
[/mm]
Man zeige, dass [mm] $S_n:=\sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm] und [mm] $\chi_{\left\{T=n\right\}}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] unabhängig sind! |
Hallo, ich weiß nicht genau, wie man das zeigen muss.
Mir ist nur klar, dass ich zeigen muss, dass die von [mm] $S_n$ [/mm] und [mm] $\chi_{\left\{T=n\right\}}$ [/mm] erzeugten [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] unabhängig sind.
Die von [mm] $\chi_{\left\{T=n\right\}}$ [/mm] erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist
[mm] $\left\{\left\{T=n\right\},\left\{T=n\right\}^C,\Omega,\emptyset\right\}$.
[/mm]
Aber was die von [mm] $S_n$ [/mm] erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, weiß ich nicht.
Außerdem ist mir noch klar, dass
[mm] $\sigma(X_1,\ldots,X_n)=\left\{X_i^{-1}(B)| B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}), 1\leq i\leq n\right\}$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 16.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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