Unabhaengigkeit von ZV'n < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:58 Mo 23.05.2005 | | Autor: | popdog |
Hallo,
wir haben Probleme, folgende Aufgabe zu loesen:
Es seien X und Y zwei Zufallsvaribalen auf [mm] (\Omega, [/mm] P) mit [mm] |X(\Omega)| [/mm] = n und [mm] |Y(\omega)| [/mm] = m. Man zeige, dass X und Y genau dann unabhaengig sind, wenn
[mm] E(X^i \cdot Y^j) [/mm] = [mm] E(X^i) \cdot E(Y^j)
[/mm]
fuer alle i = 0,1,...,n - 1 und j = 0,1,...,m - 1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mo 23.05.2005 | | Autor: | popdog |
Hallo,
ich habe leider keine Ahnung, wie das [mm] X^i [/mm] gemient ist.
Unser Tutor wusste das auch nicht.
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Hallo popdog,
> wir haben Probleme, folgende Aufgabe zu loesen:
>
> Es seien X und Y zwei Zufallsvaribalen auf [mm](\Omega,[/mm] P) mit
> [mm]|X(\Omega)|[/mm] = n und [mm]|Y(\omega)|[/mm] = m. Man zeige, dass X und
> Y genau dann unabhaengig sind, wenn
>
> [mm]E(X^i \cdot Y^j)[/mm] = [mm]E(X^i) \cdot E(Y^j)[/mm]
>
> fuer alle i = 0,1,...,n - 1 und j = 0,1,...,m - 1
Also zunächst mal interpretiere ich [mm] $X^i$ [/mm] im naheliegendsten Sinne, nämlich als [mm] $X\cdot\ldots\cdot [/mm] X$ mit $i$ Faktoren. Für die Richtung von der Unabhängigkeit zur angegebenen Gleichung schlage ich folgenden Lösungsweg vor:
Aus [mm] $|X(\Omega)|=n$ [/mm] kann man wohl folgern, dass die Zufallsvariable $X$ nur $n$ verschiedene Werte annehmen kann, sagen wir die Werte [mm] $x_1,\ldots,x_n$. [/mm] In diesem Fall bestimmt man den Erwartungswert gemäß
[mm] $E(X)=\sum\limits_{i=1}^n x_i\cdot P(X=x_i).$
[/mm]
Für $Y$ geht das analog. Für [mm] $X^i \cdot Y^j$ [/mm] gilt
[mm] $E(X^i \cdot Y^j)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m x_i^i\cdot y_j^j\cdot P(X=x_i,Y=y_j)$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m x_i^i\cdot y_j^j\cdot P(X=x_i)\cdot P(Y=y_j)$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{i=1}^nx_i^i\cdot P(X=x_i)\cdot \sum\limits_{j=1}^m y_j^j\cdot P(Y=y_j)$
[/mm]
[mm] $=E(X^i)E(Y^j).$
[/mm]
Für die andere Richtung fehlt mir noch die entscheidende Idee. Aber vielleicht magst Du ja auch noch mal selbst drüber nachdenken.
Viele Grüße
Brigitte
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