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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Do 03.11.2011 | | Autor: | howtoadd |
Liebe mathematiker...
In meinem Skript ist eine Def. die ich absolut nicht verstehe, das liegt daran, 1. weil ich den Ausdruck { Xi : omega [mm] \to \IR [/mm] | i [mm] \in [/mm] I } nicht verstehe, wer kann mir in einfachen worten sagen, was da steht und was das ganze heissen soll?
dann der 2. grund, ich verstehe nicht was eine Borelmenge nun sein soll...googlen hat mir nichts gebracht, da alles sehr mathematisch erklärt wird. In meinem Skript, die Aussagen dazu:
Im falle nicht diskreter grundräume wählt man nicht mehr die Potenzmenge von Omega als Ereignisraum. Als Ausweg: Wsk.fktionen gemäss (A) auf speziellen Teilmengen [mm] \summe [/mm] (omega) der potenzmenge, sogenannten sigma-Algebren. Sie enthalten alle Ereignisse, an denen man interessiert ist. Für Omega = [mm] \IR^{d} [/mm] wählt man die sog. Borelsche sigma-Algebra [mm] \summe [/mm] ( [mm] \IR^{d} [/mm] ) = [mm] B_{d}, [/mm] deren Elemente man Borelmengen nennt.
Dann ein paar Seiten die Definition>
Unabh. von ZV
Eine Famile von ZV { Xi : omega [mm] \to \IR [/mm] | i [mm] \in [/mm] I } heisst stoch. unabh. wenn für jede Wahl von Borelmengen Ai [mm] \to \IR [/mm] mit i [mm] \in [/mm] I die Ereignisse { Xi [mm] \in [/mm] Ai } unabh. sind.
Ich muss dazu sagen, dass ich hier wirklich nichts verstanden haben! Und ich weiss auch gar nicht wo ich anfangen soll ... Die letzte Definition ist aus dem Kapitel Unabh.
Mehr wurde die Borelmenge nicht erklärt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Do 03.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo howtoadd,
wenn das auch in der Vorlesung alles zu Borelmengen war, sollte der Dozent mal seine Didaktik überdenken...
Ich beschränke mich im Folgenden auf den Fall $d=1$, der für die stochastische Unabhängigkeit eurer Zufallsvariablen von Belang ist.
Eine Borelmenge ist dann eine spezielle Teilmenge der Menge [mm] $\IR$ [/mm] der reellen Zahlen. Welche Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] sind nun Borelmengen? Einer groben und unpräzisen Anschauung zufolge: Alle Teilmengen, die sich "vernünftig" hinschreiben lassen. Es lassen sich zwar irgendwie Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] konstruieren, die keine Borelmengen sind, aber z.B. alle Intervalle, alle endlichen oder abzählbaren Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] sind Borelmengen.
Soviel zu Borelmengen. Nun zur stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen.
Vergessen wir mal für einen Moment alles Formale und betrachten ein Anwendungsbeispiel, nämlich den Wurf mit zwei Würfeln. Die Zufallsvariable [mm] $X_1$ [/mm] gebe an, welche Zahl der erste Würfel zeigt, [mm] $X_2$ [/mm] entsprechend die Augenzahl des zweiten Würfels. Die Zufallsvariable $S$ stehe für die gewürfelte Augensumme.
Intuitiv sind [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] irgendwie unabhängig voneinander: Wenn ich irgendetwas über [mm] $X_1$ [/mm] weiß, z.B. der erste Wurf lieferte eine gerade Zahl, liefert mir das keine Information über [mm] $X_2$.
[/mm]
Anders z.B. [mm] $X_1$ [/mm] und $S$: Wissen wir z.B., dass Ereignis [mm] $\{X_1=6\}$ [/mm] eingetreten ist (also der erste Würfel eine 6 zeigt), liefert uns das sehr wohl Information über $S$: Z.B. werden wir das Ereignis [mm] $\{S=12\}$ [/mm] als wahrscheinlicher annehmen als ohne die Information über [mm] $X_1$.
[/mm]
Diesen intuitiven Begriff der stochastischen (Un-)Abhängigkeit von Zufallsvariablen gilt es nun zu formalisieren.
[mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] sollen nun grob gesagt stochastisch unabhängig heißen, wenn jede Aussage über [mm] $X_1$ [/mm] von jeder Aussage über [mm] $X_2$ [/mm] stochastisch unabhängig ist, also wenn jedes Ereignis der Form [mm] $\{X_1\in A_1\}$ [/mm] von jedem Ereignis der Form [mm] $\{X_2\in A_2\}$ [/mm] stochastisch unabhängig ist.
Bei den Mengen [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] beschränkt man sich auf Borelmengen. Aber das braucht nicht weiter zu stören, da eh alle "vernünftigen" Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] Borelmengen sind.
Nun zur allgemeinen Definition: Da haben wir im Allgemeinen nicht nur zwei Zufallsvariablen [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$, [/mm] sondern beliebig viele: $I$ ist eine beliebige (Index-)Menge und für jedes [mm] $i\in [/mm] I$ haben wir eine Zufallsvariable [mm] $X_i$. [/mm] In unserem Beispiel mit [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] wäre [mm] $I=\{1,2\}$.
[/mm]
So viel zu der Formulierung "Famile von ZV [mm] $\{ X_i \colon \Omega\to\IR | i\in I \}$" [/mm] aus der Definition. Jetzt sollen Ereignisse der Form [mm] $\{X_i\in A_i\}$ [/mm] für beliebige Borelmengen [mm] $A_i\subseteq\IR$ [/mm] stochastisch unabhängig sein. Das entspricht im Beispiel der Aussage, dass [mm] $\{X_1\in A_1\}$ [/mm] und [mm] $\{X_2\in A_2\}$ [/mm] für alle Borelmengen [mm] $A_1,A_2\subseteq\IR$ [/mm] stochastisch unabhängig sein sollen.
Falls dir der Begriff einer Zufallsvariablen unklar ist (also warum das eine Funktion von [mm] $\Omega\to\IR$ [/mm] ist), frag am besten nochmal nach.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 03.11.2011 | | Autor: | howtoadd |
Wow danke dir für deine mühe!!ich werde nun deinen artikel satz für satz durchgehen ind hoffe dass ich es nun verstehe.
Übrigens ist das wirklich alles was er über borelmengen schrieb:-(
gruß
howtoadd
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