Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:09 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Claudi85 |
Frage wurde nur auf diesem forum gestellt
Hallöle
Ich hab folgende Frage:
Was ist der unterschied zw. stoch unabhäng. und paarweise stoch. unabhängig?
Könnt ihr es mir an folgenden Bsp. erklären, welche der Eriegnisse stoch. unabhäng/paarweise stoch unabh. sind?!
Werfen eines Würfels zweimal
A: Augenzahl (AZ) beim ersten Wurf ist gerade
B: Die Summe der beiden AZ ist gerdade
C: Beim zweiten Wurf fällt eine Primzahl
Vielen Dank
Gruß Claudi
|
|
| |
|
Hallo Claudi,
> Was ist der unterschied zw. stoch unabhäng. und paarweise
> stoch. unabhängig?
Eine Familie von Ereignissen ist paarweise stoch. unabhängig , wenn für jede 2elementige Teilmenge aus dieser Menge von Ereignissen die Wahrscheinlichkeit für die Schnittmenge gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist.
Eine Familie von Ereignissen ist stoch. unabhängig , wenn für eine beliebige Teilmenge aus dieser Menge von Ereignissen die Wahrscheinlichkeit für die Schnittmenge gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist.
> Könnt ihr es mir an folgenden Bsp. erklären, welche der
> Eriegnisse stoch. unabhäng/paarweise stoch unabh. sind?!
> Werfen eines Würfels zweimal
> A: Augenzahl (AZ) beim ersten Wurf ist gerade
> B: Die Summe der beiden AZ ist gerdade
> C: Beim zweiten Wurf fällt eine Primzahl
[mm]A=\{(\omega_1,\omega_2) | \omega_1 \in \{2,4,6\},\omega_2 \in \{1,\ldots,6\} \} \Rightarrow P(A)=\frac{1}{2}[/mm]
[mm]B=\{(\omega_1,\omega_2) | (\omega_1,\omega_2 \mbox{gerade}) \vee (\omega_1,\omega_2 \mbox{ungerade}) \}[/mm]
[mm]\Rightarrow P(B)=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/mm]
[mm]C=\{(\omega_1,\omega_2) | \omega_1\in\{1,\ldots,6\}, \omega_2\in\{1,2,3,5\} \} \Righarrow P(C)=\frac{2}{3}[/mm]
Jetzt muss man halt gucken, wie's mit den Schnittmengen aussieht:
1. [mm]A\cap B=\{(\omega_1,\omega_2) | \omega_1,\omega_2 \in \{2,4,6\}\} \Rightarrow P(A\cap B)=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}[/mm]
und [mm]P(A)*P(B)=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(A\cap B)[/mm], d.h. A, B sind schon mal stoch. unabhängig.
2. [mm]A\cap C=\{(\omega_1,\omega_2) | \omega_1\in \{2,4,6\},\omega_2\in \{1,2,3,5\} \}[/mm]
[mm]\Rightarrow P(A\cap C)= \frac{1}{2}*\frac{2}{3}=P(A)*P(C)[/mm]
also auch A, C unabh.
3. [mm]B\cap C=\{(\omega_1,\omega_2) | (\omega_1\in\{2,4,6\} \wedge \omega_2=2) \vee (\omega_1,\omega_2 \in\{1,3,5\})\}[/mm]
[mm]P(B\cap C)=\frac{1}{2}*\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2}*\frac{2}{3}=P(B)*P(C)[/mm]
Also auch B,C unabh.
So, was ist mit
[mm]A\cap B\cap C=\{(\omega_1,\omega_2) | \omega_1,\omega_2 \in \{2,4,6\}\} \cap C=[/mm]
[mm]\{(\omega_1,\omega_2) | \omega_1\in\{2,4,6\},\omega_2=2\}[/mm]
[mm]\Rightarrow P(A\cap B\cap C)=\frac{1}{2}*\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\not= \frac{2}{12}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{2}{3}=P(A)*P(B)*P(C)[/mm]
Also sind A,B,C nicht unabhängig. D.h. die Familie von Ereignissen [mm]\{A,B,C\}[/mm] ist zwar paarweise stoch. unabhängig, aber nicht stoch. unabhängig, da wir den 3er-Schnitt nicht faktorisieren können.
mfg
Daniel
|
|
|
|
