Unabhängige Variable in Matrix < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Manabago |
Hi! Ich komme bei folgender Sache nicht weiter: Sei K ein Körper und sei
G={g [mm] \in GL_{2n}(K): g^t*J_{2n}*g=J_{2n} [/mm] }, wobei [mm] J_{2n} [/mm] die Matrix [mm] \pmat{ 0 & E_{n} \\ -E_{n} & 0 } [/mm] ist. Und die Frage lautet: Wieviel unabhängige Variablen bilden die Matrixeinträge der Matrizen in G?
Ich weiß nicht mal wirklich was diese Frage bedeutet? Ich hoffe, es kann mir irgendjemand einen Tipp geben. Lg
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hi! Ich komme bei folgender Sache nicht weiter: Sei K ein
> Körper und sei
> G={g [mm]\in GL_{2n}(K): g^t*J_{2n}*g=J_{2n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, wobei [mm]J_{2n}[/mm]
> die Matrix [mm]\pmat{ 0 & E_{n} \\ -E_{n} & 0 }[/mm] ist. Und die
> Frage lautet: Wieviel unabhängige Variablen bilden die
> Matrixeinträge der Matrizen in G?
>
> Ich weiß nicht mal wirklich was diese Frage bedeutet? Ich
> hoffe, es kann mir irgendjemand einen Tipp geben. Lg
Hallo,
gesucht sind ja die invertierbaren Matrizen G, für die [mm] G^t*J_{2n}*G=J_{2n} [/mm] gilt.
> Und die
> Frage lautet: Wieviel unabhängige Variablen bilden die
> Matrixeinträge der Matrizen in G?
Eine Vorstufe der Frage würde ich so formulieren: wie sehen Matrizen aus, die diese Bedingung erfüllen?
Um das herauszubekommen, würde ich mir G als zusammengesetzt aus nxn-Blockmatrizen aufschreiben, [mm] G:=\pmat{ G_1 & G_2 \\ G_3 & G_4 }, [/mm] und dann versuchen, aus
[mm] \pmat{ G_1 & G_2 \\ G_3 & G_4 }^t\pmat{ 0 & E_{n} \\ -E_{n} & 0 }\pmat{ G_1 & G_2 \\ G_3 & G_4 }=\pmat{ 0 & E_{n} \\ -E_{n} & 0 } [/mm]
Informationen zu ziehen.
(Gerechnet habe ich nichts, es ist lediglich das, was ich zunächst tun würde.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Manabago |
Danke erstmals für deine Antwort (sry, dass ich so spät erst darauf reagiere). Ich hab das jetzt gemacht und komm auf folgende Bedingungen:
[mm] G_1^T*G_3=G_1^T*G_3
[/mm]
[mm] G_4^T*G_2=G_2^T*G_4
[/mm]
[mm] G_1^T*G_4-G_3^T*G_2=E_n
[/mm]
[mm] G_4^T*G_1-G_2^T*G_3=E_n
[/mm]
Aber wie kann ich jetzt auf die Anzahl der unabhängigen Variablen schließen? Ich steh völlig an. Wär super, wenn mir da wer helfen könnte. Lg
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> Danke erstmals für deine Antwort (sry, dass ich so spät
> erst darauf reagiere). Ich hab das jetzt gemacht und komm
> auf folgende Bedingungen:
> [mm]G_1^T*G_3=G_1^T*G_3[/mm]
>
> [mm]G_4^T*G_2=G_2^T*G_4[/mm]
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> [mm]G_1^T*G_4-G_3^T*G_2=E_n[/mm]
>
> [mm]G_4^T*G_1-G_2^T*G_3=E_n[/mm]
>
> Aber wie kann ich jetzt auf die Anzahl der unabhängigen
> Variablen schließen? Ich steh völlig an. Wär super, wenn
> mir da wer helfen könnte. Lg
Hallo,
die erste Gleichung muß anders hei0en, das ist aber sicher nur ein Tippfehler:
[mm]G_3^T*G_1=G_1^T*G_3[/mm]
Daraus lese ich [mm] G_3^T*G_1=(G_3^T*G_1)^T, [/mm] es ist also die Matrix [mm] G_3^T*G_1 [/mm] symmetrisch, und nun würde ich mal gucken, ob man daus etwas über [mm] G_3 [/mm] und [mm] G_1 [/mm] erfahren kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Manabago |
Ja, soweit war ich auch schon und jetzt steh ich wieder an... Hast du eine weitere Idee? Lg
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> Ja, soweit war ich auch schon und jetzt steh ich wieder
> an... Hast du eine weitere Idee? Lg
Jetzt kannst Du doch sagen [mm] G_1=(a_i_k) [/mm] , [mm] G_3=(b_i_k) [/mm] , und dann könntest du Dir die die Ergebnisse Deiner beiden Multiplikationen doch elementweise anschauen.
Gruß v. Angela
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Ok, hab ich gemacht. Man kommt dann auf:
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{ki}*c_{kj} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}c_{ki}*a_{kj}. [/mm] Aber das hilft mir doch nicht weiter, oder seh ich es einfach nur nicht...? Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Manabago |
Kann mir denn wirklich keiner helfen...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 26.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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