Umweg ins Imaginäre < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Hanno |
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Hiho 
Ich habe gestern ein wenig im Heuser gelesen und zum ersten Mal festgestellt, wie nützlich der Umweg ins Komplexe sein kann, wenn man sieht, dass man letztenendes wieder reelle Gleichungen erhält (was ja logisch ist, aber dessen ich mir noch nicht bewusst war: wenn eine komplexe Gleichung vorliegt, dann kann man sie ja in zwei Gleichungen, nämlich die der Real- und Imaginärteile spalten - das meine ich). So kamen z.B. schöne Resultate wie
$sin(x)+sin(3x)+sin(5x)+...+sin((2n-1)x)=\frac{sin^2(nx)}{sin(x)}}$
heraus.
Ich habe mir nun folgende Frage gestellt:
Sind die Chancen auf Erfolg nicht noch größer, wenn man z.B. mit Quaternionen oder noch "höheren" Körpern (Octaven, oder?) rechnet? Da bekommt man ja für jede Gleichung gleich 4 bzw. 8 Untergleichungen, und die Chance, dass sich in denen neue Identitäten verbergen, dürften doch gar nicht so gering sein, oder? Hätte man eine Identität (wie die von Euler), auf der man arbeiten könnte, so müsste man dort doch eigenltich auch zum Erfolg kommen.
Was meint ihr dazu?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Zunächst einmal: Die komplexe Analysis bildet in der Tat ein mächtiges Fundament, aus dem zahlreiche interessante Ergebnisse für die reelle Analysis ableitbar sind.
Es gibt auch eine Analysis für Quaternionen. Du findest hier einiges Interessantes dazu.
Leider ist die Analysis auf Quaternionen aber nicht besonders "mächtig". Man kann zum Beispiel zwar formal das Exponential definieren, aber es git z.B. die Funktionalgleichung nicht mehr. Interessante Rückschlüsse auf die reelle Analysis lassen sich meines Wissens nicht ziehen.
Woran liegt das? Es liegt in erster Linie daran, dass die Quaternionen nun mal eben kein Körper sind, sondern nur ein Schiefkörper. Das Kommutativgesetz der Multiplikation, das in der reellen Anaysis natürlich extrem wichtig ist (z.B. bei der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion), gilt bei Quaternionen eben nicht.
Daher ist die Analysis für Quaternionen zwar interessant, liefert aber (meines Wissens, man möge mich korrigieren!) keine interessanten Rückschlüsse für die reelle Analysis.
Wenn dich das Thema "Quaternionen" etc. näher interessiert, lies es im Buch "Zahlen" von Ebbinghaus (Springer-Verlag) nach. Ein Super-Buch! Aber auch der oben zitierte Artikel (den ich nur überflogen habe) macht einen guten Eindruck. In ihm werden am Anfang auch zahlreiche interessante historische Anmerkungen gemacht.
Liebe Grüße
Stefan
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Hiho Hanno,
soweit ich weiß kann man mit Quaternionen z.B. gut Drehoperationen im [mm] \IR^3 [/mm] beschreiben. Diese Drehoperationen bilden eine unendliche Gruppe, die Drehung schreibt man normalerweise in Matrizenform. Die Quaternionen bilden eine Möglichkeit, ohne Matrizen auszukommen.
Die Quaternionen wurden übrigens vor den Matrizen erfunden und sind vor allem wegen der beeindruckenden 'Rechengewalt' der linearen Algebra ein wenig in Vergessenheit geraten.
Man möge mich korrigieren, aber ich glaube, so wie in [mm] \IC [/mm] die reellen Zahlen eine Streckung und die imaginären Zahlen eine Drehung verursachen (jeweils beim Multiplizieren), gilt in den Quaternionen, dass mal eine reelle Zahl wieder 'Stecken' bedeutet und Multiplikation mit i, j oder k eine Drehung um eine der drei Raumachsen.
Analytische Probleme dieser Natur kann man mit Quaternionen manchmal einfacher fassen als mit reellen Koordinaten. Leider habe ich aber keine Beispielaufgaben dazu.
Hugo
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