Umstellen nach einer Variablen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 11.02.2016 | | Autor: | Akubus |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe eine Ungleichung gegeben und muss diese nach n umstellen. Die Gleichung lautet:
[mm] \bruch{11}{16}^{n} \le [/mm] 0,01
Ich weiß, wie die Formel umgestellt aussieht, aufgrund meines Lösungsheftes, würde aber gerne verstehen, wie man darauf kommt. Umgestellt dann ja so:
n [mm] \le \bruch{log 0,01}{log \bruch {11}{16}}
[/mm]
Bin über jede Hilfe dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Do 11.02.2016 | | Autor: | Infinit |
Hallo Akubus,
willkommen hier im Forum.
Für Deine Aufgabe benötigst Du ein paar Logarithmengesetze, eigentlich sogar nur eines, aber dazu später. Was man bei diesen Aufgaben macht, ist dass man den Parameter, an dessen Wert man interessiert ist, aus dem Exponenten holt, indem man den Logarithmus auf den Ausdruck, bei Dir ist es eine Ungleichung, anwendet.
Dies ergibt zunächst einmal einen Ausdruck
[mm] \log((\bruch{11}{16})^n) = \log(0,01) [/mm]
Der Ausdruck auf der rechten Seite ergibt einen Zahlenwert, auf der linken Seite lässt sich aber noch was vereinfachen.
Hierzu man man allerdings wissen, dass der Logarithmus über ein Produkt aus zwei Zahlen gerade die Summe der Logarithmen ist.
[mm] \log(u \cdot v) = \log (u) + \log (v) [/mm]
Der Exponent n besagt doch, dass der Ausdruck [mm] {\bruch{11}{16} [/mm] gerade n mal mit sich selbst multipliziert wird. Wenn ich nun die Regel zur Berechnung des Logarithmus eines Produkts anwende, so heißt dies nichts weiter als
[mm] \log((\bruch{11}{16})^n) = n \cdot \log (\bruch{11}{16}) [/mm]
Dann steht da also
[mm] n \cdot \log(\bruch{11}{16}) \leq \log(0,01) [/mm]
Den Rest bekommst Du sicher alleine hin.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Do 11.02.2016 | | Autor: | abakus |
> Hallo Akubus,
> willkommen hier im Forum.
> Für Deine Aufgabe benötigst Du ein paar
> Logarithmengesetze, eigentlich sogar nur eines, aber dazu
> später. Was man bei diesen Aufgaben macht, ist dass man
> den Parameter, an dessen Wert man interessiert ist, aus dem
> Exponenten holt, indem man den Logarithmus auf den
> Ausdruck, bei Dir ist es eine Ungleichung, anwendet.
> Dies ergibt zunächst einmal einen Ausdruck
> [mm]\log((\bruch{11}{16})^n) = \log(0,01)[/mm]
> Der Ausdruck auf
> der rechten Seite ergibt einen Zahlenwert, auf der linken
> Seite lässt sich aber noch was vereinfachen.
> Hierzu man man allerdings wissen, dass der Logarithmus
> über ein Produkt aus zwei Zahlen gerade die Summe der
> Logarithmen ist.
> [mm]\log(u \cdot v) = \log (u) + \log (v)[/mm]
> Der Exponent n
> besagt doch, dass der Ausdruck [mm]{\bruch{11}{16}[/mm] gerade n mal
> mit sich selbst multipliziert wird. Wenn ich nun die Regel
> zur Berechnung des Logarithmus eines Produkts anwende, so
> heißt dies nichts weiter als
> [mm]\log((\bruch{11}{16})^n) = n \cdot \log (\bruch{11}{16})[/mm]
>
> Dann steht da also
> [mm]n \cdot \log(\bruch{11}{16}) \leq \log(0,01)[/mm]
> Den Rest
> bekommst Du sicher alleine hin.
> Viele Grüße,
> Infinit
Das Relationszeichen der Musterlösung ist übrigens falsch.
Ich gehe mal davon aus, dass mit "log" der Logarithmus zu einer Basis gemeint ist, die größer als 1 ist.
Der Logarithmus von Zahlen kleiner als 1 (wie eben z.B. 11/16) ist dann negativ , und beidseitige Division durch eine negative Zahl dreht das Relationszeichen. Richtig ist die Fortsetzung zu [mm] $n\ge...$.
[/mm]
Gruß Abakus
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