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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Umschreiben von \wurzel{i}
Umschreiben von \wurzel{i} < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Umschreiben von \wurzel{i}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Di 30.09.2008
Autor: kiri111

Hallo,
eine blöde Frage:
Wer kann mir folgendes erklären:
1.) Wieso ist [mm] \wurzel{i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1+i) [/mm] bzw. [mm] \wurzel{-i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1-i) [/mm] ?

2.) Wieso folgt daraus, dass [mm] x^{4}+a^{4}=(x^{2}+a \cdot \wurzel{2} \cdot x)(x^{2}-a \cdot \wurzel{2} \cdot [/mm] x)?

Dankeschön.

LG kiri

        
Bezug
Umschreiben von \wurzel{i}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Di 30.09.2008
Autor: fred97


> Hallo,
>  eine blöde Frage:
>  Wer kann mir folgendes erklären:
>  1.) Wieso ist [mm]\wurzel{i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1+i)[/mm]
> bzw. [mm]\wurzel{-i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1-i)[/mm] ?
>  

Weil $( [mm] \bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1+i))^2 [/mm] = i $

und $( [mm] \bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1-i))^2 [/mm] = -i $



> 2.) Wieso folgt daraus, dass [mm]x^{4}+a^{4}=(x^{2}+a \cdot \wurzel{2} \cdot x)(x^{2}-a \cdot \wurzel{2} \cdot[/mm]
> x)?

Das stimmt doch hinten und vorne nicht!   Multipliziere doch mal den rechts stehenden Ausdruck aus !


FRED


>  
> Dankeschön.
>  
> LG kiri


Bezug
        
Bezug
Umschreiben von \wurzel{i}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Di 30.09.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  eine blöde Frage:
>  Wer kann mir folgendes erklären:
>  1.) Wieso ist [mm]\wurzel{i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1+i)[/mm]
> bzw. [mm]\wurzel{-i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1-i)[/mm] ?

zunächst einmal:
[]Wiki: Wurzeln aus komplexen Zahlen

Für [mm] $\sqrt{i}$ [/mm] hat man also die komplexe GLeichung [mm] $z^2=i$ [/mm] zu lösen. Entweder benutzt Du dann, was Du auch bei Wiki findest (dort mit [mm] $\black{a}=i$, $|\black{i}|=1$ [/mm] und [mm] $\varphi=\pi/2$): [/mm]
[mm] $z_{k}=\sqrt[2]{|i|}\;*\;\exp\left(\frac{i (\pi/2)}{2}+k*\frac{2\pi\,i}{2}\right)\;$ $\;\;\;(k=0,1)\,,$ [/mm]

oder Du setzt an mit:
[mm] $\black{z}=x+i*y$ [/mm] (mit [mm] $x=\text{Re}(z), y=\text{Im}(z) \in \IR$) [/mm] und berechnest die Lösungen $x,y$ der Gleichung
[mm] $$(x+i*y)^2=i\,,$$ [/mm]

bzw. nach einem kleinen Zwischenschritt: die Lösungen der Gleichung
[mm] $$x^2-y^2+i*(2xy-1)=0\,.$$ [/mm]

Um damit weiterarbeiten zu können, beachte, dass rechterhand die komplexe Zahl [mm] $\black{0}=0+i*0$ [/mm] steht und daher linkerhand sowohl der Realteil der dort stehenden komplexen Zahl als auch der Imaginärteil beide [mm] $\black{=}0$ [/mm] sein müssen. Du erhälst so also zwei Gleichungen mit zwei (reellen) Variablen...

Das hier wäre sozusagen der konstruktive Weg, um [mm] $\sqrt{i}$ [/mm] auszurechnen, den ich zu Freds Antwort ergänzen wollte.

Gruß,
Marcel

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Umschreiben von \wurzel{i}: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:49 Di 30.09.2008
Autor: EasyLee

Du findest auch unter der Begriff Eulersche Identität etwas darüber. Komplexe Zahlen über den Kreis und Drehung eines Strahls zu verstehen ist hilfreich. Gut ist wenn Du alle Darstellungsmöglichkeiten der komplexen Zahlen kennst und umformen kannst.

http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Identit%C3%A4t#Verbindung_der_Analysis_zur_Trigonometrie

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Umschreiben von \wurzel{i}: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:32 Do 09.10.2008
Autor: kiri111

Hallo,
ich danke euch vielmals! :)

Liebe Grüße
kiri

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