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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich beschäftige mich gerade mit der "Kommutativität" absolut konvergenter Reihen, und habe einige Probleme den Beweis zu verstehen :-(. Hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann!
SATZ :
Sei [mm] \summe_{n = 1}^{ \infty} a_n [/mm] eine absolut konvergente Reihe und [mm] \sigma [/mm] eine Bijektion von [mm] \mathbb N [/mm] auf sich. Sei [mm] b_n : = a_{\sigma(n) }[/mm]. Dann ist [mm] \summe_{n=1}^{ \infty } b_n [/mm] absolut konvergent und die [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n = \summe_{n=1}^{\infty} b_n [/mm].
BEWEIS :
Sei [mm] s_n := \summe_{k=1}^{n} a_k [/mm] und [mm] t_n := \summe_{k=1}^{n} b_k [/mm].
Für [mm] n \in \mathbb N [/mm] sei [mm] m(n) := \max \{ \sigma(1), ... , \sigma(n) \} [/mm]
Dann folgt:
[mm] \summe_{ k = 1 }^{n} \left| b_k \right| = \summe_{k=1}^{n} \left| a_{ \sigma(n) } \right| \le \summe_{k=1}^{ m(n) } \left| a_k \right| \le \summe_{k=1}^{ \infty} \left| a_k \right|. [/mm]
[ 1. Frage :
Warum gilt denn diese Ungleichung: [mm] \summe_{k=1}^{n} \left| a_{ \sigma(n) } \right| \le \summe_{k=1}^{ m(n) } \left| a_k \right| [/mm] ? ]
Also konvergiert [mm] \summe_{ k=1 }^{ \infty } b_k [/mm] absolut.
[ 2. Frage : Fließt in diese Folgerung jetzt auch irgendwie das Majorantenkriterium mit ein? Oder reicht für den Schluss der absoluten Konvergenz nur die Ungleichung? ]
Noch zu zeigen: [mm] \limes_{ n \to \infty } ( t_n - s_n ) = 0 [/mm]
Sei [mm] \epsilon > 0 [/mm] .
Zeige: Es gibt [mm] M \in \mathbb N [/mm] mit [mm] \left| t_m - s_m \right| < \epsilon [/mm] für alle [mm] m \ge M [/mm].
Es gibt ein [mm] N \in \mathbb N [/mm] mit [mm] \left| a_{N + 1 } \right| + \left| a_{N+2 } \right|+ ... < \epsilon [/mm]
[ 3. Frage : Dass es so ein N gibt, liegt an der vorausgesetzten absoluten Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{n = 1}^{ \infty} a_n [/mm] ? ]
[ Ab hier verstehe ich leider nicht mehr wirklich viel, und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand ab hier den Beweis erklären könnte ]
Es gibt ein [mm] M \in \mathbb N [/mm] mit [mm] \{ 1, ..., N \} \subseteq \{ \sigma(1), ..., \sigma(M) \} [/mm]
Sei [mm] m \ge M [/mm]. Dann ist [mm] \{ 1, ..., N \} \subseteq \{ \sigma(1), ..., \sigma(m) \} [/mm]
Aus [mm] t_m - s_m = \summe_{k = 1 }^{m} a_{ \sigma(k) } - \summe_{k = 1 }^{m} a_k [/mm] heben sich mindestens die Terme [mm] a_1 , ... , a_N [/mm] auf.
Also [mm] t_m - s_m = \epsilon_1 a_{N+1} + \epsilon_2 a_{N+2}+ ... [/mm]
mit geeignetem [mm] \epsilon_i \in \{ 0,1,-1 \}. [/mm]
[mm] \Rightarrow \left| t_m - s_m \right| \le \left| a_{N+1} \right| + \left| a_{N+2 } \right| + ... < \epsilon
\Rightarrow \limes_{n \to \infty } ( t_m - s_m ) = 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo alle zusammen!
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> Ich beschäftige mich gerade mit der "Kommutativität"
> absolut konvergenter Reihen, und habe einige Probleme den
> Beweis zu verstehen :-(. Hoffe, dass mir jemand dabei
> helfen kann!
>
> SATZ :
>
> Sei [mm]\summe_{n = 1}^{ \infty} a_n[/mm] eine absolut konvergente
> Reihe und [mm]\sigma[/mm] eine Bijektion von [mm]\mathbb N[/mm] auf sich.
> Sei [mm]b_n : = a_{\sigma(n) }[/mm]. Dann ist [mm]\summe_{n=1}^{ \infty } b_n[/mm]
> absolut konvergent und die [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n = \summe_{n=1}^{\infty} b_n [/mm].
>
> BEWEIS :
>
> Sei [mm]s_n := \summe_{k=1}^{n} a_k[/mm] und [mm]t_n := \summe_{k=1}^{n} b_k [/mm].
>
> Für [mm]n \in \mathbb N[/mm] sei [mm]m(n) := \max \{ \sigma(1), ... , \sigma(n) \}[/mm]
>
> Dann folgt:
>
> [mm]\summe_{ k = 1 }^{n} \left| b_k \right| = \summe_{k=1}^{n} \left| a_{ \sigma(n) } \right| \le \summe_{k=1}^{ m(n) } \left| a_k \right| \le \summe_{k=1}^{ \infty} \left| a_k \right|. [/mm]
>
> [ 1. Frage :
> Warum gilt denn diese Ungleichung: [mm]\summe_{k=1}^{n} \left| a_{ \sigma(n) } \right| \le \summe_{k=1}^{ m(n) } \left| a_k \right|[/mm]
> ? ]
>
m(n) := [mm] \max \{ \sigma(1), ... , \sigma(n) \}. [/mm] Bei [mm] \summe_{k=1}^{ m(n) } \left| a_k \right| [/mm] werden alle Summanden von 1 bis m(n) aufsummiert, bei [mm] \summe_{k=1}^{n} \left| a_{ \sigma(n) } \right| [/mm] werden manche zwischendurch aber ausgelassen.
>
> Also konvergiert [mm]\summe_{ k=1 }^{ \infty } b_k[/mm] absolut.
>
> [ 2. Frage : Fließt in diese Folgerung jetzt auch irgendwie
> das Majorantenkriterium mit ein? Oder reicht für den
> Schluss der absoluten Konvergenz nur die Ungleichung? ]
>
Die Partialsummenfolge von [mm] \summe_{ k = 1 }^{n} \left| b_k \right| [/mm] ist monoton wachsend und durch [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \left| a_k \right| [/mm] nach oben beschränkt.
>
> Noch zu zeigen: [mm]\limes_{ n \to \infty } ( t_n - s_n ) = 0[/mm]
>
> Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] .
> Zeige: Es gibt [mm]M \in \mathbb N[/mm] mit [mm]\left| t_m - s_m \right| < \epsilon[/mm]
> für alle [mm]m \ge M [/mm].
>
> Es gibt ein [mm]N \in \mathbb N[/mm] mit [mm]\left| a_{N + 1 } \right| + \left| a_{N+2 } \right|+ ... < \epsilon[/mm]
>
> [ 3. Frage : Dass es so ein N gibt, liegt an der
> vorausgesetzten absoluten Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{n = 1}^{ \infty} a_n[/mm]
> ? ]
>
Jepp, liegt an der Konvergenz der Reihen - heisst glaub ich Cauchy-Kriterium, kannst ja mal Wikipedia dazu befragen.
>
> [ Ab hier verstehe ich leider nicht mehr wirklich viel, und
> wäre sehr dankbar, wenn mir jemand ab hier den Beweis
> erklären könnte ]
>
> Es gibt ein [mm]M \in \mathbb N[/mm] mit [mm]\{ 1, ..., N \} \subseteq \{ \sigma(1), ..., \sigma(M) \}[/mm]
>
Denn sonst wäre [mm] \sigma [/mm] keine Umordnung.
>
> Sei [mm]m \ge M [/mm]. Dann ist [mm]\{ 1, ..., N \} \subseteq \{ \sigma(1), ..., \sigma(m) \}[/mm]
>
Klar, wegen der oberen Zeile.
>
> Aus [mm]t_m - s_m = \summe_{k = 1 }^{m} a_{ \sigma(k) } - \summe_{k = 1 }^{m} a_k[/mm]
> heben sich mindestens die Terme [mm]a_1 , ... , a_N[/mm] auf.
>
Folgt ebenfalls aus der oberen Zeile.
>
> Also [mm]t_m - s_m = \epsilon_1 a_{N+1} + \epsilon_2 a_{N+2}+ ...[/mm]
>
> mit geeignetem [mm]\epsilon_i \in \{ 0,1,-1 \}.[/mm]
>
Der Rest, der übrig bleibt. Da man nicht weiss, welches Vorzeichen die restlichen Summanden haben, müssen diese [mm] \epsilon_i [/mm] immer dran.
>
> [mm]\Rightarrow \left| t_m - s_m \right| \le \left| a_{N+1} \right| + \left| a_{N+2 } \right| + ... < \epsilon [/mm]
>
Dreiecksungleichung, bzw. trivial.
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n \to \infty } ( t_m - s_m ) = 0[/mm]
>
Klar.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung
>
>
> Viele Grüße
> Irmchen
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