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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:20 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Hund |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] \bruch{1}{1+x²} [/mm] reell-analytisch auf [mm] \IR [/mm] ist. |
Hallo,
also hier mein Beweis:
[mm] \bruch{1}{1+x²}=\bruch{1}{1+(x-a+a)²}=\bruch{1}{1+(x-a)²+2a(x-a)+a²}=(1+a²)^{-1} \bruch{1}{1+\bruch{(x-a)²}{1+a²}+\bruch{2a(x-a)}{1+a²}}
[/mm]
Nun kann ich ja x-a klein genug wählen, so dass:
[mm] =(1+a²)^{-1}\summe_{k=1}^{n} (\bruch{(x-a)²}{1+a²}+\bruch{2a(x-a)}{1+a²})^{k}
[/mm]
Das kann man ja durch Umordnung auf eine Potenzreihe zurückführen, damit wäre dann, weil die Potenzreihenentwicklung mit der Taylor-Reihe übereinstimmen muss gezeigt. Meine Frage: Wie zeige ich jetzt das mit der Umordnung? Ich weis, dass man jetzt mit dem großen Umordnungssatz hantieren könnte, aber den hatten wir in der Vorlesung nicht. Kann man das nicht irgendwie auf den normalen Umordnungssatz zurückführen oder irgendwie anders zeigen?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
auch wenn was reelles rauskommen soll, darf man ja komplexe Zahlen benutzen. Also versuche mal:
[mm] \frac{1}{1+x^2}=\frac {1}{2}\left( \frac{1}{1+ix}+\frac{1}{1-ix}\right)
[/mm]
Volker
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