Umordnung von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:15 Sa 25.07.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo liebe Community!
Ich habe eine paar Fragen zum Beweis der Umordnung absolut konvergenter Reihen. Zuerst einmal hier der Satz und der Beweis um den es geht:
Satz: Sei K [mm] \in \{\IR, \IC\} [/mm] und seien [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] eine absolut konvergente Reihe in K und [mm] \tau [/mm] : [mm] \IN \to \IN [/mm] eine bijektive Abbildung. Dann ist auch die umgeordnete Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{\tau(n)} [/mm] absolut konvertent und es gilt
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{\tau(n)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}.
[/mm]
Beweis: Ist n [mm] \in \IN, [/mm] so setzen wir n* := [mm] max\{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\}, [/mm] und haben die Inklusion [mm] \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\} \subseteq \{1, ..., n\* \}, [/mm] also auch
[mm] \summe_{k=0}^{n} |a_{\tau(k)}| \le \summe_{k=0}^{n*} |a_{k}| \le \summe_{k=0}^{\infty} |a_{k}| [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Da nun [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_{\tau(k)}| [/mm] konvergent ist, ist auch [mm] \summe_{n=0}^{n} a_{\tau(k)} [/mm] absolut konvergent.
Damit ist die erste Aussage bewiesen. Insbesondere sind [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{\tau(n)} [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] beide konvergent. Bezeichne
[mm] s_{n} [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] und s'_{n} := [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{\tau(k)} [/mm] für jedes n [mm] \in \IN [/mm] die jeweiligen Partialsummen. Wir wollen zeigen, dass die Differenzen [mm] (s_{n} [/mm] - [mm] s'{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge bilden. Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Nach dem Cauchy Kriterium für Reihen existiert [mm] n_{1} \in \IN [/mm] mit
[mm] \summe_{k=n}^{m} |a_{k}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
für alle n, m [mm] \in \IN [/mm] mit m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge n_{1}.
[/mm]
Wir setzen
[mm] n_{0} [/mm] := [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}.
[/mm]
Sei jetzt n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge n_{0} [/mm] gegeben. Dann sind
0, 1, ..., [mm] n_{1} [/mm] - 1, [mm] \tau^{-1}(1), [/mm] ... , [mm] \tau^{-1}(n_{1} [/mm] - 1) [mm] \in \{1, ..., n\},
[/mm]
also auch 0, 1, ... , [mm] n_{1} [/mm] - 1 [mm] \in \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\}.
[/mm]
Bilden wir also die Differenz
[mm] s_{n} [/mm] - [mm] s_{n}' [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{\tau(k)},
[/mm]
so kommt jeder der Summanden [mm] a_{0}, [/mm] ... , [mm] a_{n_{1} - 1} [/mm] sowohl in [mm] s_{n} [/mm] als auch in [mm] s_{n}' [/mm] vor, und verschwindet in der Differenz. Von [mm] s_{n} [/mm] und [mm] s_{n}' [/mm] verbleiben dann nur noch die Summanden der Form [mm] a_{k} [/mm] mit k [mm] \ge n_{1} [/mm] und k [mm] \in \{0, ... , n, \tau(0), ... , \tau(n)\}. [/mm] Diejenigen davon die in [mm] s_{n} [/mm] und [mm] s_{n}' [/mm] vorkommen verschwinden in der Differenz, und die anderen bleiben mit eventuellen Vorzeichen stehen. Setzen wir also [mm] m:=max\{n, \tau(0), ... , \tau(n)\}, [/mm]
so ist m [mm] \ge n_{1} [/mm] und es gibt eine Menge M [mm] \subseteq \{n_{1}, n_{1} + 1, ... , m\} [/mm] und Vorzeichen [mm] \sigma_{k} \in \{-1, 1\} [/mm] für k [mm] \in [/mm] M mit
[mm] s_{n} [/mm] - [mm] s_{n}' [/mm] = [mm] \summe_{k\inM}^{} \sigma_{k}a_{k}.
[/mm]
Mit der Dreiecksungleichung folgt:
[mm] |s_{n} [/mm] - [mm] s_{n}'| [/mm] = | [mm] \summe_{k\inM}^{} \sigma_{k}a_{k}| \le \summe_{k\inM}^{} |a_{k} \le \summe_{k=n_{1}}^{m} |a_{k}| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Damit ist schließlich [mm] (s_{n} [/mm] - [mm] s_{n}')_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge. Mit den Grenzwertsätzen folgt schließlich:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] - [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{\tau(n)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_{n} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_{n}' [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (s_{n} [/mm] - [mm] s_{n}') [/mm] = 0. q.e.d
Nun habe ich einige Verständnisfragen zu obigem Beweis:
1) Zur Inklusion [mm] \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\} \subseteq \{1, ..., n\* \} [/mm] und der Ungleichung danach [mm] \summe_{k=0}^{n} |a_{\tau(k)}| \le \summe_{k=0}^{n*} |a_{k}| \le \summe_{k=0}^{\infty} |a_{k}| [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Kann ich mir das so vorstellen, dass ich zum Beispiel für [mm] \tau_{0}, [/mm] ... , [mm] \tau_{5} [/mm] folgende Zahlen nehme:
1, 36, 25, 4, 128, 6 und das Aufsummieren dieser Glieder ja eindeutig kleiner sein muss als das Aufsummieren derjenigen von 1, ... , 128 (wobei ja 128 [mm] n_{0} [/mm] entspricht, also das Maximum aller Taus). ?
Und wenn ich zum Beispiel 3, 2, 1, 5, 4, 6 habe, dann wäre ja die Summe [mm] a_{3} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{6} [/mm] gleich der Summe [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3} [/mm] + ... + [mm] a_{6} [/mm] ?
Deshalb steht da ein [mm] \le [/mm] in der Ungleichung oder?
2) Ich scheitere in der Zeile, wo [mm] n_{0} [/mm] := [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\} [/mm] definiert wird.
Was meint man hier mit der Umkehrabbildung Tau, und welche Folgenglieder werden dann betrachtet? Ich denke das beste ist, dass ich das zuerst verstehe, bevor ich weiterfrage 
Ich würde mich über eure Antworten sehr freuen!
Viele Grüße,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Sa 25.07.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo liebe Community!
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> Nun habe ich einige Verständnisfragen zu obigem Beweis:
>
> 1) Zur Inklusion [mm]\{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\} \subseteq \{1, ..., n\* \}[/mm]
> und der Ungleichung danach [mm]\summe_{k=0}^{n} |a_{\tau(k)}| \le \summe_{k=0}^{n*} |a_{k}| \le \summe_{k=0}^{\infty} |a_{k}|[/mm]
> < [mm]\infty.[/mm]
>
> Kann ich mir das so vorstellen, dass ich zum Beispiel für
> [mm]\tau_{0},[/mm] ... , [mm]\tau_{5}[/mm] folgende Zahlen nehme:
> 1, 36, 25, 4, 128, 6 und das Aufsummieren dieser Glieder
> ja eindeutig kleiner sein muss als das Aufsummieren
> derjenigen von 1, ... , 128 (wobei ja 128 [mm]n_{0}[/mm] entspricht,
> also das Maximum aller Taus). ?
Ja.
> Und wenn ich zum Beispiel 3, 2, 1, 5, 4, 6 habe, dann
> wäre ja die Summe [mm]a_{3}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{6}[/mm] gleich der
> Summe [mm]a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm] + ... + [mm]a_{6}[/mm] ?
Ja.
> Deshalb steht da ein [mm]\le[/mm] in der Ungleichung oder?
Die linke Menge von Indices ist in der rechten Indexmenge enthalten. Daher umfasst die Summe ueber die Indices der linken Menge i.a. weniger Summanden.
>
> 2) Ich scheitere in der Zeile, wo [mm]n_{0}[/mm] := [mm]max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}[/mm]
> definiert wird.
> Was meint man hier mit der Umkehrabbildung Tau, und welche
> Folgenglieder werden dann betrachtet?
Das ist die Umkehrfunktion der Bijektion [mm] $\tau$. [/mm] Beispielsweise sei [mm] $\tau:\IN_{0}\to\IN_{0}$ [/mm] definiert durch [mm] $n\mapsto \begin{cases} n-2 & n\equiv_{2}0, n>0\\ 1 & n=0\\ n+2 & n\equiv_{2}1\end{cases}$. [/mm] Dann ist z.B. [mm] $\tau^{-1}(10)=12$, $\tau^{-1}(0)=2$, $\tau^{-1}(1)=0$ [/mm] und [mm] $\tau^{-1}(11)= [/mm] 9$, weil [mm] $\tau(12)=10$, $\tau(2)=0$, $\tau(0)=1$ [/mm] und [mm] $\tau(9)=11$ [/mm] gilt.
> Ich denke das beste
> ist, dass ich das zuerst verstehe, bevor ich weiterfrage
>
>
>
> Ich würde mich über eure Antworten sehr freuen!
>
> Viele Grüße,
> Christian
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Sa 25.07.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
Okay das Prinzip der Umkehrabbildung denke ich verstanden zu haben.
Allerdings verstehe ich nicht, welche Glieder denn mit [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] ... , [mm] \tau^{-1}(n_{1}) [/mm] gemeint sind.
Umgekehrt ist mir dies klar: Oben bei der Inklusion betrachte ich ja die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] aller [mm] a_{\tau(k)}, [/mm] wobei für [mm] \tau(0) [/mm] usw. gilt was wird aus dem Index 0 bei [mm] a_{0}, [/mm] was mit demjenigen bei [mm] a_{1} [/mm] usw.
Mir wird hier nun nicht klar, welche Folgenglieder nun in der Menge [mm] n_{0} [/mm] drin sind.
Wir betrachten ja gerade die Reihe der [mm] a_{k} [/mm] und nicht der [mm] a_{\tau(k)}, [/mm] deshalb verstehe ich nicht, was das [mm] \tau [/mm] hier zu suchen hat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Sa 25.07.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
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> Okay das Prinzip der Umkehrabbildung denke ich verstanden
> zu haben.
> Allerdings verstehe ich nicht, welche Glieder denn mit
> [mm]\tau^{-1}(0),[/mm] ... , [mm]\tau^{-1}(n_{1})[/mm] gemeint sind.
Es sind die Indices gemeint, die [mm] $\tau$ [/mm] auf $0$, auf $1$, etc. und auf [mm] $n_{1}$ [/mm] abbildet.
> Umgekehrt ist mir dies klar: Oben bei der Inklusion
> betrachte ich ja die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] aller
> [mm]a_{\tau(k)},[/mm] wobei für [mm]\tau(0)[/mm] usw. gilt was wird aus dem
> Index 0 bei [mm]a_{0},[/mm] was mit demjenigen bei [mm]a_{1}[/mm] usw.
Das verstehe ich nicht richtig.
>
> Mir wird hier nun nicht klar, welche Folgenglieder nun in
> der Menge [mm]n_{0}[/mm] drin sind.
> Wir betrachten ja gerade die Reihe der [mm]a_{k}[/mm] und nicht der
> [mm]a_{\tau(k)},[/mm] deshalb verstehe ich nicht, was das [mm]\tau[/mm] hier
> zu suchen hat.
Das ist nicht richtig. An dieser Stelle des Beweises wird sowohl die Reihe [mm] $\sum_{k} a_{k}$ [/mm] als auch die Reihe [mm] $\sum_{k} a_{\tau(k)}$ [/mm] betrachten, denn man moechte hier zeigen, dass beide Reihen den gleichen Grenzwert haben. Dass nun gerade auch die Umkehrfunktion von [mm] $\tau$ [/mm] ins Spiel kommt, liegt an der dem Beweis zugrunde liegende Idee: macht man alles geschickt und bildet dann die Differenz der Partialsummen, so loeschen sich eine ganze Menge Summanden aus.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:56 So 26.07.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen und Hallo hippias!
Kann ich es mir denn so vorstellen:
[mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\} [/mm] bedeutet, ich wähle mein [mm] n_{0} [/mm] derart hoch, sodass alle Indizes bis [mm] n_{1} [/mm] in der Reihe der [mm] a_{\tau(k)} [/mm] vorkommen?
Also zum Beispiel sei [mm] n_{1} [/mm] = 3. Es könnte ja sein, [mm] \tau(34) [/mm] = 0, [mm] \tau(5) [/mm] = 1, [mm] \tau(64) [/mm] = 2 und [mm] \tau(28) [/mm] = 3.
Und ich muss nun mein [mm] n_{0} [/mm] so hoch setzen, dass auf jeden Fall in der Reihe [mm] a_{\tau(k)} [/mm] alle Folgenglieder von 0, 1, ... bis [mm] n_{1} [/mm] vorkommen? Also in diesem Fall wäre das Maximum ja [mm] \tau^{-1}(2) [/mm] = [mm] \tau^{-1}(n_{1}-1)= [/mm] 64.
Zu 0, 1, ..., [mm] n_{1} [/mm] - 1, [mm] \tau^{-1}(1), [/mm] ... , habe ich glaube ich einen Fehler entdeckt. Es müsste doch wie folgt heißen, oder?
-> 0, 1, ..., [mm] n_{1} [/mm] - 1, [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] ..., [mm] \tau^{-1}(n_{1} [/mm] - 1 ) [mm] \in \{0, ..., n\}
[/mm]
Wie dem auch sei, es erscheint logisch, dass alle Zahlen von 0 bis [mm] n_{1} [/mm] - 1 in der Menge [mm] \{0, ..., n\} [/mm] enthalten sind: Denn es ist ja n [mm] \ge n_{0} [/mm] ist und es könnte ja [mm] n_{0} [/mm] = [mm] n_{1} [/mm] sein, dann wäre n [mm] \ge n_{1} [/mm] und damit auch [mm] \ge n_{1} [/mm] - 1, somit wäre [mm] n_{1} [/mm] - 1 [mm] \in [/mm] der Menge von 0 bis n. Alle anderen Zahlen sind kleiner und deshalb auch in der Menge drin.
Wäre eine andere Zahl das Maximum, so wäre [mm] n_{1} [/mm] kleiner als diese Zahl und sowieso in dieser Menge.
Mit [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] ..., [mm] \tau^{-1}(n_{1} [/mm] - 1 ) gilt ja dasselbe Spiel.
Habe ich das denn richtig verstanden?
Was ist jedoch nicht ganz verstehe ist der Schritt 0, 1, ..., [mm] n_{1} [/mm] - 1 [mm] \in \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\}.
[/mm]
Könnt ihr mir das ein wenig verständlicher machen?
Viele Grüße und einen schönen Sonntag,
euer Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 28.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Di 28.07.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo Leute!
Der Fälligkeitszeitpunkt für meine letzte Frage ist abgelaufen, deshalb stelle ich sie nun noch einmal, in der Hoffnung, dass mir jemand antwortet ;)
Meine Frage richtete sich an der Stelle, an welcher [mm] n_{0} [/mm] gewählt wird.
Kann ich es mir denn so vorstellen:
$ [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\} [/mm] $ bedeutet, ich wähle mein $ [mm] n_{0} [/mm] $ derart hoch, sodass alle Indizes bis $ [mm] n_{1} [/mm] $ in der Reihe der $ [mm] a_{\tau(k)} [/mm] $ vorkommen?
Also zum Beispiel sei $ [mm] n_{1} [/mm] $ = 3. Es könnte ja sein, $ [mm] \tau(34) [/mm] $ = 0, $ [mm] \tau(5) [/mm] $ = 1, $ [mm] \tau(64) [/mm] $ = 2 und $ [mm] \tau(28) [/mm] $ = 3.
Und ich muss nun mein $ [mm] n_{0} [/mm] $ so hoch setzen, dass auf jeden Fall in der Reihe $ [mm] a_{\tau(k)} [/mm] $ alle Folgenglieder von 0, 1, ... bis $ [mm] n_{1} [/mm] $ vorkommen? Also in diesem Fall wäre das Maximum ja $ [mm] \tau^{-1}(2) [/mm] $ = $ [mm] \tau^{-1}(n_{1}-1)= [/mm] $ 64.
Zu 0, 1, ..., $ [mm] n_{1} [/mm] $ - 1, $ [mm] \tau^{-1}(1), [/mm] $ ... , habe ich glaube ich einen Fehler entdeckt. Es müsste doch wie folgt heißen, oder?
-> 0, 1, ..., $ [mm] n_{1} [/mm] $ - 1, $ [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] $ ..., $ [mm] \tau^{-1}(n_{1} [/mm] $ - 1 ) $ [mm] \in \{0, ..., n\} [/mm] $
Wie dem auch sei, es erscheint logisch, dass alle Zahlen von 0 bis $ [mm] n_{1} [/mm] $ - 1 in der Menge $ [mm] \{0, ..., n\} [/mm] $ enthalten sind: Denn es ist ja n $ [mm] \ge n_{0} [/mm] $ ist und es könnte ja $ [mm] n_{0} [/mm] $ = $ [mm] n_{1} [/mm] $ sein, dann wäre n $ [mm] \ge n_{1} [/mm] $ und damit auch $ [mm] \ge n_{1} [/mm] $ - 1, somit wäre $ [mm] n_{1} [/mm] $ - 1 $ [mm] \in [/mm] $ der Menge von 0 bis n. Alle anderen Zahlen sind kleiner und deshalb auch in der Menge drin.
Wäre eine andere Zahl das Maximum, so wäre $ [mm] n_{1} [/mm] $ kleiner als diese Zahl und sowieso in dieser Menge.
Mit $ [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] $ ..., $ [mm] \tau^{-1}(n_{1} [/mm] $ - 1 ) gilt ja dasselbe Spiel.
Habe ich das denn richtig verstanden?
Was ist jedoch nicht ganz verstehe ist der Schritt 0, 1, ..., $ [mm] n_{1} [/mm] $ - 1 $ [mm] \in \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\}. [/mm] $
Könnt ihr mir das ein wenig verständlicher machen?
Viele Grüße und dankbar wäre über eine Antwort,
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Do 30.07.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo Leute!
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> Der Fälligkeitszeitpunkt für meine letzte Frage ist
> abgelaufen, deshalb stelle ich sie nun noch einmal, in der
> Hoffnung, dass mir jemand antwortet ;)
> Meine Frage richtete sich an der Stelle, an welcher [mm]n_{0}[/mm]
> gewählt wird.
>
>
>
>
> Kann ich es mir denn so vorstellen:
>
> [mm]max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}[/mm] bedeutet,
> ich wähle mein [mm]n_{0}[/mm] derart hoch, sodass alle Indizes bis
> [mm]n_{1}[/mm] in der Reihe der [mm]a_{\tau(k)}[/mm] vorkommen?
Das ist mir unklar. Richtig ist, dass die Menge [mm] $\{0,\ldots,n_{0}\}$ [/mm] die Menge [mm] $\{0,\ldots, n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}$ [/mm] enthaelt.
> Also zum Beispiel sei [mm]n_{1}[/mm] = 3. Es könnte ja sein,
> [mm]\tau(34)[/mm] = 0, [mm]\tau(5)[/mm] = 1, [mm]\tau(64)[/mm] = 2 und [mm]\tau(28)[/mm] = 3.
> Und ich muss nun mein [mm]n_{0}[/mm] so hoch setzen, dass auf jeden
> Fall in der Reihe [mm]a_{\tau(k)}[/mm] alle Folgenglieder von 0, 1,
> ... bis [mm]n_{1}[/mm] vorkommen? Also in diesem Fall wäre das
> Maximum ja [mm]\tau^{-1}(2)[/mm] = [mm]\tau^{-1}(n_{1}-1)=[/mm] 64.
Ja.
>
> Zu 0, 1, ..., [mm]n_{1}[/mm] - 1, [mm]\tau^{-1}(1),[/mm] ... , habe ich
> glaube ich einen Fehler entdeckt. Es müsste doch wie folgt
> heißen, oder?
> -> 0, 1, ..., [mm]n_{1}[/mm] - 1, [mm]\tau^{-1}(0),[/mm] ...,
> [mm]\tau^{-1}(n_{1}[/mm] - 1 ) [mm]\in \{0, ..., n\}[/mm]
>
> Wie dem auch sei, es erscheint logisch, dass alle Zahlen
> von 0 bis [mm]n_{1}[/mm] - 1 in der Menge [mm]\{0, ..., n\}[/mm] enthalten
> sind: Denn es ist ja n [mm]\ge n_{0}[/mm] ist und es könnte ja
> [mm]n_{0}[/mm] = [mm]n_{1}[/mm] sein, dann wäre n [mm]\ge n_{1}[/mm] und damit auch
> [mm]\ge n_{1}[/mm] - 1, somit wäre [mm]n_{1}[/mm] - 1 [mm]\in[/mm] der Menge von 0
> bis n. Alle anderen Zahlen sind kleiner und deshalb auch in
> der Menge drin.
Wenn Du jetzt mit $n$ das obige [mm] $n_{0}$ [/mm] meinst, dann ja.
> Wäre eine andere Zahl das Maximum, so wäre [mm]n_{1}[/mm] kleiner
> als diese Zahl und sowieso in dieser Menge.
> Mit [mm]\tau^{-1}(0),[/mm] ..., [mm]\tau^{-1}(n_{1}[/mm] - 1 ) gilt ja
> dasselbe Spiel.
>
> Habe ich das denn richtig verstanden?
>
>
> Was ist jedoch nicht ganz verstehe ist der Schritt 0, 1,
> ..., [mm]n_{1}[/mm] - 1 [mm]\in \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\}.[/mm]
>
> Könnt ihr mir das ein wenig verständlicher machen?
Nach Definition von [mm] $n_{0}$ [/mm] ist [mm] $\tau^{-1}(k)\leq n_{0}$ [/mm] fuer [mm] $0\leq k\leq n_{1}$, [/mm] d.h. [mm] $\tau^{-1}(k)\in \{0,\ldots, n_{0}\}$. [/mm] Folglich ist [mm] $\tau(\tau^{-1}(k))= k\in \{\tau(0),\ldots, \tau(n_{0})\}$.
[/mm]
>
>
> Viele Grüße und dankbar wäre über eine Antwort,
> Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Fr 23.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo hippias,
nach langer Abstinenz melde ich mich nun auch wieder zur Wort und bedanke mich für deine Antwort - mir ist der Sachverhalt nun klar geworden!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:34 Fr 23.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
eine letzte Frage habe ich zu diesem Beweis. Und zwar wieso bei [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\} [/mm] das [mm] n_{1} [/mm] steht.
Dieses ist doch eigentlich unerheblich, denn es kann doch eigentlich nie eigenständig Maximum sein und ist ja eigentlich überflüssig oder?
Wenn [mm] n_{1} [/mm] zum Beispiel 5 ist, so habe ich [mm] \tau(0), \tau(1), \tau(2), \tau(3),\tau(4), \tau(5). n_{1} [/mm] kann ja nie selbst das Maximum der Menge sein, sondern "teilt" sich diese Rolle höchstens mit einem [mm] \tau. [/mm] Falls zum Beispiel [mm] \tau(0) [/mm] = 0, [mm] \tau(1) [/mm] = 1, ..., [mm] \tau(5) [/mm] = 5, so wäre ja [mm] n_{1} [/mm] = [mm] \tau(5) [/mm] = [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}.
[/mm]
Genau das gleiche bei allen möglichen Permutationen.
Viele Grüße,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 So 25.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mo 26.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
der Fälligkeitszeitraum ist abgelaufen, deshalb stelle ich die Frage nun nochmal in der Hoffnung, dass mir jemand antwortet! :)
eine letzte Frage habe ich zu diesem Beweis. Und zwar wieso bei [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\} [/mm] das [mm] n_{1} [/mm] steht.
Dieses ist doch eigentlich unerheblich, denn es kann doch eigentlich nie eigenständig Maximum sein und ist ja eigentlich überflüssig oder?
Wenn [mm] n_{1} [/mm] zum Beispiel 5 ist, so habe ich [mm] \tau(0), \tau(1), \tau(2), \tau(3),\tau(4), \tau(5). n_{1} [/mm] kann ja nie selbst das Maximum der Menge sein, sondern "teilt" sich diese Rolle höchstens mit einem [mm] \tau. [/mm] Falls zum Beispiel [mm] \tau(0) [/mm] = 0, [mm] \tau(1) [/mm] = 1, ..., [mm] \tau(5) [/mm] = 5, so wäre ja [mm] n_{1} [/mm] = [mm] \tau(5) [/mm] = [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}.
[/mm]
Genau das gleiche bei allen möglichen Permutationen.
Viele Grüße,
Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Mo 26.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Christian!
> eine letzte Frage habe ich zu diesem Beweis. Und zwar wieso
> bei [mm]max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}[/mm] das
> [mm]n_{1}[/mm] steht.
>
> Dieses ist doch eigentlich unerheblich, denn es kann doch
> eigentlich nie eigenständig Maximum sein und ist ja
> eigentlich überflüssig oder?
>
> Wenn [mm]n_{1}[/mm] zum Beispiel 5 ist, so habe ich [mm]\tau(0), \tau(1), \tau(2), \tau(3),\tau(4), \tau(5). n_{1}[/mm]
> kann ja nie selbst das Maximum der Menge sein, sondern
> "teilt" sich diese Rolle höchstens mit einem [mm]\tau.[/mm] Falls
> zum Beispiel [mm]\tau(0)[/mm] = 0, [mm]\tau(1)[/mm] = 1, ..., [mm]\tau(5)[/mm] = 5, so
> wäre ja [mm]n_{1}[/mm] = [mm]\tau(5)[/mm] = [mm]max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}.[/mm]
>
> Genau das gleiche bei allen möglichen Permutationen.
Du hast Recht.
Deine Vermutung müsstest du nun noch allgemein beweisen.
Diesen Beweis kann man sich sparen, wenn man [mm] $n_0:=max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}$ [/mm] setzt.
Hier mein Vorschlag zum Beweis deiner Vermutung:
Sei [mm] $A:=\{\tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}\subseteq\IN$.
[/mm]
Es genügt zu zeigen, dass $A$ keine Teilmenge von [mm] $B:=\{0,1,2,\ldots,n_1-1\}$ [/mm] ist.
Denn dann gibt es ein [mm] $n\in [/mm] A$ (insbesondere [mm] $n\in\IN$) [/mm] mit [mm] $n\notin [/mm] B$, also mit [mm] $n\ge n_1$.
[/mm]
Angenommen [mm] $A\subseteq [/mm] B$.
Dann folgt unter Beachtung der Injektivität von [mm] $\tau^{-1}$ [/mm] der Widerspruch
[mm] $n_1+1=|A|\le |B|=n_1$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Di 27.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo Tobias,
vielen Dank dir für die Antwort! :)
Ich finde es wirklich interessant, wie schön man in der Mathematik Dinge logisch beweisen kann.
Man betrachtet hier die Mächtigkeit der Mengen und stellt fest, dass die Mächtigkeit der Menge A kleiner oder gleich der Mächtigkeit der Menge B sein muss, falls A eine Teilmenge von B ist, kommt dann aber auf den Widerspruch dass [mm] n_{1} [/mm] + 1 [mm] \le n_{1} [/mm] ... wirklich total interessant!
Aber müsste man nicht mithilfe der bijektiven Eigenschaft von [mm] \tau [/mm] argumentieren, dass die Anzahl der Menge tatsächlich [mm] n_{1} [/mm] + 1 ist?
Die Injektivität bedeutet doch, dass bei der Umkehrabbildung [mm] \tau^{-1} [/mm] alle Elemente höchstens ein Urbild haben, die Anzahl der Elemente in A also höchstens [mm] n_{1} [/mm] + 1 beträge, oder irre ich mich da?
VG X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:01 Mi 28.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Aber müsste man nicht mithilfe der bijektiven Eigenschaft
> von [mm]\tau[/mm] argumentieren, dass die Anzahl der Menge
> tatsächlich [mm]n_{1}[/mm] + 1 ist?
>
> Die Injektivität bedeutet doch, dass bei der
> Umkehrabbildung [mm]\tau^{-1}[/mm] alle Elemente höchstens ein
> Urbild haben, die Anzahl der Elemente in A also höchstens
> [mm]n_{1}[/mm] + 1 beträge, oder irre ich mich da?
Ich hatte mich leider verschrieben:
Tatsächlich benötigen wir die Injektivität der Umkehrabbildung [mm] $\tau^\red{-1}$, [/mm] um [mm] $|A|=n_1+1$ [/mm] einzusehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mi 28.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo Tobias,
aber wieso reicht denn die Injektivität von [mm] \tau^{-1} [/mm] als Argument aus und es muss nicht zusätzlich auch noch die surjektivität gelten?
Könnteat du mir das erklären? ;)
VG Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mi 28.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> aber wieso reicht denn die Injektivität von [mm]\tau^{-1}[/mm] als
> Argument aus und es muss nicht zusätzlich auch noch die
> surjektivität gelten?
> Könnteat du mir das erklären? ;)
Natürlich ist [mm] $\tau^{-1}\colon\IN\to\IN$ [/mm] auch surjektiv.
Aber das spielt für den Nachweis von [mm] $|A|=|\{\tau^{-1}(0),\tau^{-1}(1),\ldots,\tau^{-1}(n_1)\}|=n_1+1$ [/mm] keine Rolle.
Entscheidend ist dafür nur, dass es sich bei den [mm] $n_1+1$ [/mm] vielen Elementen [mm] $\tau^{-1}(0),\tau^{-1}(1),\ldots,\tau^{-1}(n_1)$ [/mm] von A um paarweise verschiedene Elemente handelt und dass dies sämtliche Elemente von A sind.
Formalere Argumentation:
Sei [mm] $A':=\{0,1,\ldots,n_1\}$.
[/mm]
Dann gilt [mm] $|A'|=n_1+1$.
[/mm]
Daher genügt es, $|A|=|A'|$ zu zeigen.
Dafür wiederum genügt es, eine Bijektion [mm] $\sigma\colon A'\to [/mm] A$ zu finden.
Wir wählen [mm] $\sigma\colon A'\to A,\quad \sigma(i):=\tau^{-1}(i)$.
[/mm]
Nach Definition von A ist [mm] $\sigma$ [/mm] wohldefiniert und surjektiv.
Wegen der Injektivität von [mm] $\tau^{-1}$ [/mm] ist auch [mm] $\sigma$ [/mm] injektiv.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Sa 31.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo Tobias und Hallo liebe Community!
Hm ich stehe leider immer noch ein wenig auf dem Schlauch :-/
Ich bezeichne einmal [mm] \tau^{-1}: \IN [/mm] -> [mm] \IN, [/mm] A* -> A
Du sagst es muss sich um paarweise verschiedene Elemente bei [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] ... , [mm] \tau^{-1}(n_{1}) \in [/mm] A handeln.
Könnte man denn nicht einfach auch so argumentieren:
Sei [mm] \tau^{-1}(0) [/mm] = [mm] \tau^{-1}(n_{1}) [/mm]
Dann ist [mm] \tau(\tau^{-1}(0)) [/mm] = 0 und [mm] \tau(\tau^{-1}(n_{1})) [/mm] = [mm] n_{1}.
[/mm]
Dies würde aber bedeuten, dass wenn ich [mm] \tau [/mm] auf ein und dieselbe Zahl anwende, ich zwei unterschiedliche Werte bekomme, und dies würde ja im Widerspruch zu einer Abbildung stehen.
Z.B. [mm] \tau(2) [/mm] = 4 und [mm] \tau(2) [/mm] = 15 würde doch nicht der Definition einer Abbildung entsprechen, da eine Abbildung f: D -> Z ja so definiert ist, dass sie jedem Element aus D genau ein Element aus Z zuordnet.
Somit wäre doch insgesamt die Möglichkeit gar nicht gegeben, dass die Elemente von A paarweise gleich sind, da im Umkehrschluss gelten müsste, dass [mm] \tau [/mm] keine Abbildung wäre, was ja ein Widerspruch ist. Deshalb müssten doch alle Elemente von A paarweise verschieden sein oder?
Oder werfe ich da total was durcheinander?
VG und Happy Halloween,
X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Di 03.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Hm ich stehe leider immer noch ein wenig auf dem Schlauch
> :-/
>
> Ich bezeichne einmal [mm]\tau^{-1}: \IN[/mm] -> [mm]\IN,[/mm] A* -> A
>
> Du sagst es muss sich um paarweise verschiedene Elemente
> bei [mm]\tau^{-1}(0),[/mm] ... , [mm]\tau^{-1}(n_{1}) \in[/mm] A handeln.
> Könnte man denn nicht einfach auch so argumentieren:
> Sei [mm]\tau^{-1}(0)[/mm] = [mm]\tau^{-1}(n_{1})[/mm]
Du betrachtest nur die erste und die letzte der [mm] $n_1+1$ [/mm] vielen Zahlen [mm]\tau^{-1}(0),[/mm] ... , [mm]\tau^{-1}(n_{1})[/mm] ?
Für einen allgemeinen Beweis sind [mm] $\tau^{-1}(i)$ [/mm] und [mm] $\tau^{-1}(j)$ [/mm] für [mm] $i,j\in\{0,1,\ldots,n_1,n_1+1\}$ [/mm] zu betrachten.
Aus [mm] $\tau^{-1}(0)=\tau^{-1}(n_1)$ [/mm] folgt mit der Injektivität von [mm] $\tau^{-1}$ [/mm] sofort [mm] $0=n_1$.
[/mm]
> Dann ist [mm]\tau(\tau^{-1}(0))[/mm] = 0 und [mm]\tau(\tau^{-1}(n_{1}))[/mm]
> = [mm]n_{1}.[/mm]
So kannst du auch zu [mm] $0=n_1$ [/mm] gelangen, das ist eine weitere mögliche Argumentation.
> Somit wäre doch insgesamt die Möglichkeit gar nicht
> gegeben, dass die Elemente von A paarweise gleich sind,
(Achtung: Die Verneinung von "paarweise ungleich" ist nicht etwa "paarweise gleich".)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Fr 06.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo Tobias!
Vielen Dank dir für die Antworten, ich habe nun verstanden um was es hier geht! :)
Viele Grüße,
Christian
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