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| Aufgabe | Sei F: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] definiert durch F(x,y) := [mm] (x^4*y+x, x+y^3)
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass F in (1,1) lokal umkehrbar ist.
b) Die Koordinaten im Bildraum seien mit u, v bezeichnet. Berechnen Sie die Ableitungen [mm] (F^{-1})_u [/mm] (2,2) und [mm] (F^{-1})_v [/mm] (2,2)
c) Zeigen Sie, dass F nicht injektiv ist. |
Also hier meine Ideen:
c) F(1,1)=F(2,0) [mm] \Rightarrow [/mm] F nicht injektiv
a) det [mm] J_F [/mm] (1,1) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] F ist lokal umkehrbar
zu b) habe ich bisher keinen ansatz. Ich weiß, dass gilt:
[mm] Df^{-1}(y) [/mm] = [mm] (Df(x))^{-1}
[/mm]
hilft mir das hier?
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Hallo Heureka89,
> Sei F: [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] definiert durch F(x,y) := [mm](x^4*y+x, x+y^3)[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass F in (1,1) lokal umkehrbar ist.
> b) Die Koordinaten im Bildraum seien mit u, v bezeichnet.
> Berechnen Sie die Ableitungen [mm](F^{-1})_u[/mm] (2,2) und
> [mm](F^{-1})_v[/mm] (2,2)
> c) Zeigen Sie, dass F nicht injektiv ist.
> Also hier meine Ideen:
>
> c) F(1,1)=F(2,0) [mm]\Rightarrow[/mm] F nicht injektiv
> a) det [mm]J_F[/mm] (1,1) [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] F ist lokal
> umkehrbar
>
> zu b) habe ich bisher keinen ansatz. Ich weiß, dass gilt:
> [mm]Df^{-1}(y)[/mm] = [mm](Df(x))^{-1}[/mm]
> hilft mir das hier?
Ja, das hilft hier.
Gruß
MathePower
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Ja ok.
Also mein x wäre denk ich der Punkt (1,1), da F(1,1) = (2,2) ist.
Aber wie fahre ich weiter vor, könnte man hier irgendwie die Jacobi-matrix zur Hilfe nehmen?
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Hallo Heureka89,
> Ja ok.
> Also mein x wäre denk ich der Punkt (1,1), da F(1,1) =
> (2,2) ist.
> Aber wie fahre ich weiter vor, könnte man hier irgendwie
> die Jacobi-matrix zur Hilfe nehmen?
Differenziere
[mm]\pmat{ f_{1}\left( \ x\left(u,v\right),y\left(u,v\right) \ \right) \\ f_{2}\left( \ x\left(u,v\right),y\left(u,v\right) \ \right)}=\pmat{u \\ v}[/mm]
nach u und v.
Gruß
MathePower
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