Umkehrfunktion von Komposition < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 So 15.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f, indem Sie die Formel für die Umkehrfunktion einer Komposition benutzen. Überprüfen Sie ihr Ergebnis, indem Sie die Unkehrfunktion durch Auflösen von y=f(x) nach x bestimmen.
f(x)=(ac+b)^-2
Aufgabenteil a) mit Lösung (Bis auf Zeichnung, welche hier aber keine Rolle spielt):
http://www.matheforum.net/read?t=858153 |
Hallo,
Hier meine Lösung, wozu ich 1 Frage habe.
Definition für Umkehrfunktion einer Komposition:
h:= g [mm] \circ [/mm] f
h^-1:= f^-1 [mm] \circ [/mm] g^-1
Auf die Aufgabe angewandt:
f:= g [mm] \circ [/mm] t [mm] \circ [/mm] s
f^-1:= s^-1 [mm] \circ [/mm] t^-1 [mm] \circ [/mm] g^-1
Umkehrfunktionen von s, t und g berechnen (verkürzt):
s(x)=a*x
[mm] s^-1(x)=\bruch{x}{a}
[/mm]
t(x)=x+b
t^-1(x)=x-b
g(x)=x^-2
[mm] g^-1(x)=\wurzel{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Das ganze gemäß nach Def. einsetzen:
s^-1(t^-1(g^-1(x)))
= [mm] s^-1(t^-1(\wurzel{\bruch{1}{x}}))
[/mm]
= [mm] s^-1(\wurzel{\bruch{1}{x}}-b)
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{1}{x}}-b}{a}=f^-1
[/mm]
Dann die Umkehrfunktion prüfen, indem man sozusagen die Umkehrfunktion von der Umkehrfunktion bildet (wo dann wieder f rauskommen muss):
[mm] y=\bruch{\wurzel{\bruch{1}{x}}-b}{a} [/mm] | *a
[mm] \gdw y*a=\wurzel{\bruch{1}{x}}-b [/mm] | +b
[mm] \gdw y*a+b=\wurzel{\bruch{1}{x}} [/mm] | [mm] ()^2 [/mm] (Hier bezieht sich meine Frage drauf! Spreche das zum Schluss an!)
[mm] \gdw (y*a+b)^2=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{(y*a+b)^2}=x
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{(x*a+b)^2}=y
[/mm]
Bis hierhin müsste alles richtig sein.
Nun zu meiner Frage:
Quadrieren ist normalerweise ja keine Äquvalenzumformung. Wie erkläre ich das [mm] \gdw [/mm] Zeichen, nachdem ich quadriert habe? (Unser Prof. möchte immer begründet haben, warum das denn als Äquvalenzumformung gilt)??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 So 15.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nun zu meiner Frage:
> Quadrieren ist normalerweise ja keine Äquvalenzumformung.
> Wie erkläre ich das [mm]\gdw[/mm] Zeichen, nachdem ich quadriert
> habe? (Unser Prof. möchte immer begründet haben, warum
> das denn als Äquvalenzumformung gilt)??
das ist das uralte Problem, was (ich bedaure es zutiefst!!!) kein mir bekannter Lehrer in der Schule richtig lehrt bzw. lehrte. Du kannst nur bei bijektiven Funktionen, oder, je nach Definition, mindestens injektiven Funktionen "die Umkehrfunktion" berechnen.
Bei Dir müßtest Du das auch sauberer aufschreiben: Man muss wenigstens wissen, was der Definitionsbereich Deiner Funktion ist - aber auch der Zielbereich sollte mitangegeben werden.
Beispiele, die auch zu Deiner Frage passen:
[mm] $f_1(x):=x^2$ [/mm] hat als Funktion [mm] $[0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] die Umkehrfunktion $x [mm] \mapsto \sqrt{x}\,,$ [/mm] welche auch eine Abbildung [mm] $[0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] ist.
[mm] $f_2(x):=x^2$ [/mm] hat als Funktion [mm] $(-\infty,0] \to [0,\infty)$ [/mm] die Umkehrfunktion $x [mm] \mapsto -\sqrt{x}\,,$ [/mm] welche eine Abbildung [mm] $[0,\infty) \to (-\infty,0]$ [/mm] ist.
[mm] $f_3(x):=x^2$ [/mm] hat als Funktion [mm] $\IR \to [0,\infty)$ [/mm] keine Umkehrfunktion, weil sie nicht injektiv ist. Aber [mm] $f_3$ [/mm] kann man etwa auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] oder [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] einschränken, und jede dieser beiden "durch Einschränkung entstandenen" Abbildungen wäre, wie oben gesehen, dann umkehrbar.
[mm] $f_4(x):=x^2$ [/mm] hat als Abbildung [mm] $[0,\infty) \to \IR$ [/mm] keine Umkehrfunktion, weil sie nicht surjektiv ist. (Es gibt z.B. kein [mm] $f^{-1}(-2)\,.$) [/mm]
Aber ersetzt man etwa dan Zielbereich von [mm] $f_4$ [/mm] durch [mm] $\{x^2:\; x \in [0,\infty)\}=[0,\infty)\,,$ [/mm] so hätte man eine bijektive und damit umkehrbare Funktion.
Bei Dir wirst Du vielleicht an einer Stelle Deine "Quadratfunktion" als [mm] $f_1$ [/mm] aufgefasst haben. Aber wenn Deine Ausgangsfunktion [mm] $f(x)=(ax+b)^2$ [/mm] (ich nehme an, so lautet sie wirklich - Du hattest [mm] $c\,$ [/mm] anstatt [mm] $x\,$ [/mm] geschrieben!) wirklich auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert war, war diese i.a. nicht umkehrbar. Du kannst sie aber "aufteilen", indem Du ihren Definitionsbereich einmal auf [mm] $[-b/a,\infty)$ [/mm] und ein anderes Mal auf [mm] $(-\infty,-b/a]$ [/mm] einschränkst (jeweils für $a [mm] \not=0\;$ [/mm] aber für [mm] $a=0\,$ [/mm] ist die Funktion eh "langweiligerweise nicht umkehrbar"), und dann den Zielbereicht jeweils sozusagen "durch den Wertebereich der eingeschränkten Funktion ersetzt". Denn dann hast Du zwei bijektive Funktionen, und dann kannst Du überhaupt erstmal (in der mir bekannten Definition des Begriffes der Umkehrfunktion) vernünftig mit dem Begriff Umkehrfunktion arbeiten!
P.S.: Ich vermute, bei Deinem Aufschrieb solltest Du eine Fallunterscheidung machen. Ich guck's mir in einer ruhigen Minute später oder morgen vielleicht nochmal genauer an!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 So 15.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f, indem Sie die
> Formel für die Umkehrfunktion einer Komposition benutzen.
> Überprüfen Sie ihr Ergebnis, indem Sie die Unkehrfunktion
> durch Auflösen von y=f(x) nach x bestimmen.
>
> f(x)=(ac+b)^-2
>
> Aufgabenteil a) mit Lösung (Bis auf Zeichnung, welche hier
> aber keine Rolle spielt):
> http://www.matheforum.net/read?t=858153
>
> Hallo,
>
> Hier meine Lösung, wozu ich 1 Frage habe.
>
> Definition für Umkehrfunktion einer Komposition:
> h:= g [mm]\circ[/mm] f
>
> h^-1:= f^-1 [mm]\circ[/mm] g^-1
>
>
> Auf die Aufgabe angewandt:
>
> f:= g [mm]\circ[/mm] t [mm]\circ[/mm] s
>
> f^-1:= s^-1 [mm]\circ[/mm] t^-1 [mm]\circ[/mm] g^-1
>
> Umkehrfunktionen von s, t und g berechnen (verkürzt):
>
> s(x)=a*x
> [mm]s^-1(x)=\bruch{x}{a}[/mm]
>
> t(x)=x+b
> t^-1(x)=x-b
>
> g(x)=x^-2
> [mm]g^-1(x)=\wurzel{\bruch{1}{x}}[/mm]
genau hier ist schon die erste "Unreinheit"
Wenn Du sagst, dass [mm] $g(x)=x^{-2}$ [/mm] die Umkehrfunktion [mm] $g^{-1}(x)=\sqrt{1/x}$ [/mm] hat, bedeutet das bei Dir sicher, dass $g: [mm] (0,\infty) \to (0,\infty)$ [/mm] ist. (Es ist übrigens auch nicht klar, dass das so sein müßte: Du könntest ja auch $g: [mm] \IN \to \{1/n^2: n \in \IN\}$ [/mm] auffassen - bei mir gilt übrigens $0 [mm] \notin \IN$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 So 15.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo Marcel,
Danke für deine Antworten.
Ich verstehe deine beiden Posts zwar, aber ich weiß nicht, was das mit meiner Frage zu tun hat, wie ich [mm] ()^2 [/mm] als Äuivalenzumformung hier begründen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 15.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> Danke für deine Antworten.
>
> Ich verstehe deine beiden Posts zwar, aber ich weiß nicht,
> was das mit meiner Frage zu tun hat, wie ich [mm]()^2[/mm] als
> Äuivalenzumformung hier begründen kann.
ohne striktere Vorgaben an [mm] $x\,$ [/mm] (und bestenfalls solltest Du auch den "Zielbereich" Deiner Funktion angeben) gar nicht. Genau das ist der Inhalt meines Posts. Du kannst Aussagen treffen wie:
Falls [mm] $x\ge [/mm] 0$ und $y [mm] \ge 0\,,$ [/mm] dann gilt [mm] $x^2=y \gdw x=\sqrt{y}\,.$
[/mm]
Denn:
Einerseits gilt $x= [mm] \sqrt{y} \Rightarrow x^2=y\,,$ [/mm]
andererseits gilt
[mm] $$x^2=y \gdw (x+\sqrt{y})*(x-\sqrt{y})=0\,.$$
[/mm]
Letztes Produkt ist, wenn man $x [mm] \in \IR$ [/mm] zuläßt, genau dann Null, wenn [mm] $x=\pm \sqrt{y}\,.$ [/mm] Da wir hier aber $x [mm] \ge [/mm] 0$ vorausgesetzt hatten, kommt nur [mm] $x=\sqrt{y}$ [/mm] für $y > [mm] 0\,$ [/mm] in Frage - und für $y=0$ ist natürlich [mm] $x=\pm\sqrt{y}=\pm 0=0\,.$
[/mm]
Hier kann man also sagen, dass "Quadrieren als Funktion [mm] $[0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] umkehrbar - da bijektiv - ist."
Betrachtest Du [mm] $x^2=y$ [/mm] etwa für $y [mm] \ge [/mm] 0$ und $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] so gilt zwar immer noch
[mm] $$x=\sqrt{y} \Rightarrow x^2=y\,,$$
[/mm]
aber die Umkehrung
[mm] $$x^2=y \Rightarrow x=\sqrt{y}$$
[/mm]
ist hier schon falsch.
Damit ist hier auch [mm] $x^2=y \gdw x=\sqrt{y}$ [/mm] falsch, da dort i.a. nur [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gilt.
Das ganze ist wirklich das gleiche wie: "Welche Voraussetzungen habe ich an den Definitionsbereich und den Zielbereich der Funktion mit Funktionsgleichung [mm] $f(x):=x^2$?" [/mm] Erst, wenn dadurch "das Quadrieren eine injektive und surjektive Funktion ist", kann ich an entsprechenden Stellen auch das Äquivalenzzeichen benutzen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du den Wertebereich von f angibst und den als Def. Bereich von [mm] g^{-1} [/mm] und den Wertebereich von [mm] g^{-1} [/mm] richtig angibst hast du Äquivalenzumformungen! Das solltest du den posts entnehmen, ernn du sagst du hast sie verstanden.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:02 So 15.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
Danke für eure Antworten!
Dann würde ich die Definitions. - und Wertebereiche folgendermaßen benennen:
[mm] f(x)=\bruch{1}{(x\cdot{}a+b)^2}
[/mm]
[mm] f^-1(x)=\bruch{\wurzel{\bruch{1}{x}}-b}{a}
[/mm]
f: [mm] \IR \to [/mm] {0, [mm] \infty [/mm] }
f^-1: {0, [mm] \infty [/mm] } [mm] \to \IR
[/mm]
Das müsste doch umkehrbar sein und somit müsste auch [mm] ()^2 [/mm] eine Äquivalenzumformung sein, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jack,
ich gehe gleich schlafen, daher nur kurz:
> f: [mm]\IR \to \{0, \infty \}[/mm]
> ...
Du meinst hier sicher nicht [mm] $\{0,\infty\}\,$ [/mm] (das ist eine ZWEI-elementige Menge bestehend aus dem Element [mm] $0\,$ [/mm] und dem Element [mm] $\infty$) [/mm] sondern
[mm] $$]0,\infty[=(0,\infty):=\{r \in \IR: r > 0\}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
> Hallo Jack,
>
> ich gehe gleich schlafen, daher nur kurz:
>
> > f: [mm]\IR \to \{0, \infty \}[/mm]
> > ...
>
> Du meinst hier sicher nicht [mm]\{0,\infty\}\,[/mm] (das ist eine
> ZWEI-elementige Menge bestehend aus dem Element [mm]0\,[/mm] und dem
> Element [mm]\infty[/mm]) sondern
> [mm]]0,\infty[=(0,\infty):=\{r \in \IR: r > 0\}\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Genau, hab mich da mit der Klammer vertan, sorry.
Also meine:
f: [mm] \IR \to [/mm] (0, [mm] \infty [/mm] )
f^-1: (0, [mm] \infty [/mm] ) [mm] \to \IR
[/mm]
Ist das denn dann richtig im Zusammenhang mit der Äquivalenzumformung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich beantworte gerade mal beide Posts:
> Hallo,
>
> Danke für eure Antworten!
>
> Dann würde ich die Definitions. - und Wertebereiche
> folgendermaßen benennen:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{(x\cdot{}a+b)^2}[/mm]
>
> [mm]f^-1(x)=\bruch{\wurzel{\bruch{1}{x}}-b}{a}[/mm]
>
> f: [mm]\IR \to \{0, \infty \}[/mm]
>
> f^-1: [mm]\{0,\infty \} \to \IR[/mm]
>
>
> Das müsste doch umkehrbar sein und somit müsste auch [mm]()^2[/mm]
> eine Äquivalenzumformung sein, oder?
> > Hallo Jack,
> >
> > ich gehe gleich schlafen, daher nur kurz:
> >
> > > f: [mm]\IR \to \{0, \infty \}[/mm]
> > > ...
> >
> > Du meinst hier sicher nicht [mm]\{0,\infty\}\,[/mm] (das ist eine
> > ZWEI-elementige Menge bestehend aus dem Element [mm]0\,[/mm] und dem
> > Element [mm]\infty[/mm]) sondern
> > [mm]]0,\infty[=(0,\infty):=\{r \in \IR: r > 0\}\,.[/mm]
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Genau, hab mich da mit der Klammer vertan, sorry.
> Also meine:
> f: [mm]\IR \to[/mm] (0, [mm]\infty[/mm] )
>
> f^-1: (0, [mm]\infty[/mm] ) [mm]\to \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ist das denn dann richtig im Zusammenhang mit der
> Äquivalenzumformung?
eben nicht. Dein $f\,$ ist doch nicht injektiv, muss aber bijektiv sein. Außerdem: Was ist mit $x=-b/a\,,$ dann teilst Du durch $0\,$! Es muss also $-b/a \notin D_f$ gelten, wenn wir mit $D_f$ den Definitionsbereich von $f\,$ bezeichnen (zugegeben, das ist nicht gerade die beste Bezeichnung dafür, aber eine gängige).
Übrigens: Für $a=0\,$ mus bei der Definition von $f\,$ sicher $b \not=0$ gelten. Aber i.a. ist da der Fall $a=0\,$ eh der uninteressanteste: Denn falls $a=0\,$ und $b=0\,$ wäre, wäre $f\,$ gar nicht definiert, und für $a=0\,$ und $b\not=0$ wäre $f(x)=1/b^2$ konstant, insbesondere i.a. nicht umkehrbar, es sei denn, man "verkleinert den Definitionsbereich von $f\,$ auf eine einelementige Menge".
Jetzt aber der interessante(ste) Fall:
Für $a \not=0$ kannst Du etwa obiges $f\,$ als Abbildung
$$f: (-b/a,\;\infty) \to (0,\infty)$$
auffassen.
Tust Du dies nicht, so kannst Du aber, wenn Du oben
$$(\star)\;\;\;f: \IR \setminus \{-b/a\} \to (0,\infty)$$
auffasst, dann immerhin sagen, dass für jedes $y > 0\,$ gilt:
$$f^{-1}(\{y\})=\left\{-\frac{b}{a}\pm\frac{1}{a*\sqrt{y}\right\}\,.$$
Du siehst:
Man kann hier schlecht von "einer Umkehrfunktion" sprechen, da die obenstehenden Urbildmengen echt mehr als ein Element haben, nämlich stets zwei!
Was Du machen kannst:
$$f_1: (-b/a,\;\infty) \to (0,\infty)$$
mit $f_1(x)=(ax+b)^{-2}$
(also $f_1=f_{|(-b/a,\;\infty)}\,,$ wenn $f\,$ wie oben, und in $(\star)\,,$ definiert als Funktion $\IR \setminus \{-b/a\} \to (0,\infty)$ aufgefasst wird)
hat die Umkehrfunktion
$$f_1^{-1}: (0,\infty) \to (-b/a,\;\infty)$$
mit
$$f_1^{-1}(x)=-\frac{b}{a}+\frac{1}{a*\sqrt{x}}\,,$$
und
$$f_2: (-\infty,\;-b/a) \to (0,\infty)$$
mit $f_1(x)=(ax+b)^{-2}$ (also $f_2=f_{|(-\infty,\;-b/a)}$)
hat die Umkehrfunktion
$$f_2^{-1}: (0,\infty) \to (-\infty,\;-b/a)$$
mit
$$f_2^{-1}(x)=-\frac{b}{a}-\frac{1}{a*\sqrt{x}}\,,$$
Gruß,
Marcel
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