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Forum "Analysis des R1" - Umkehrfunktion von 2x/sin(x)
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Umkehrfunktion von 2x/sin(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Mi 31.12.2008
Autor: kunzmaniac

Aufgabe
Gegeben:
f: (0, [mm] \pi) \to \IR, [/mm] mit: f(x) = [mm] \bruch{2x}{sin(x)}. [/mm]

Zu zeigen:
(1) f umkehrbar.
(2) Definitionsbereich der Umkehrfunktion.
(3) [mm] f^{-1}'(\pi). [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


(1), (2) habe ich gelöst (s.u.), bei (3) stecke ich fest.

Lösungsansatz:
(1)
f'(x) = [mm] \bruch{2sin(x) - 2x cos(x)}{sin^{2}(x)} [/mm]

Def:
g : (0, [mm] \pi) \to \IR, [/mm] mit: g(x) = 2sin(x) - 2x cos(x).
g'(x) = 2sin(x) > 0 [mm] \forallx \in [/mm] (0, [mm] \pi). [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] g(x) streng monoton wachsend und es gilt g(0) = 0, also g(x) > 0 [mm] \forallx \in [/mm] (0, [mm] \pi). [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) > 0 [mm] \forallx \in [/mm] (0, [mm] \pi). [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f streng monoton wachsend, also bijektiv und somit umkehrbar.

(2)
f: (0, [mm] \pi) \to \IR, [/mm] also [mm] f^{-1}: \IR \to [/mm] (0, [mm] \pi). [/mm]

(3)
Idee: y = [mm] \bruch{2x}{sin(x)} [/mm] nach x auflösen, ableiten, [mm] \pi [/mm] einsetzen.
Das habe ich nicht geschafft.
Ist es überhaupt nötig, den Term der Ableitung zu bestimmen?
Besteht ein Zusammenhang zwischen f' und [mm] f^{-1}'? [/mm]

vielen Dank für jede Hilfe,
Gruß und guten Rutsch!




        
Bezug
Umkehrfunktion von 2x/sin(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Mi 31.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Gegeben:
>  f: (0, [mm]\pi) \to \IR,[/mm] mit: f(x) = [mm]\bruch{2x}{sin(x)}.[/mm]

>  (3) [mm]f^{-1}'(\pi).[/mm]

> (3)
>  Idee: y = [mm]\bruch{2x}{sin(x)}[/mm] nach x auflösen, ableiten,
> [mm]\pi[/mm] einsetzen.
>  Das habe ich nicht geschafft.
>  Ist es überhaupt nötig, den Term der Ableitung zu
> bestimmen?
>  Besteht ein Zusammenhang zwischen f' und [mm]f^{-1}'?[/mm]

Hallo,

[willkommenmr].

Der Zusammenhang ist die  MBUmkehrregel.

Die Hauptarbeit ist es zu überlegen, für welches x gilt [mm] y=\pi=\bruch{2x}{sin(x)}. [/mm]

Gruß v. Angela



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