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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Ich hätte zwei Fragen an euch, auf die hoffentlich jemand eine Antwort weiß.
Zur Ersten: Umkehrfunktion
Für welche c aus den reellen Zahlen sind für die Funktion y = (y1, y2):
y1(x1,x2) = x1+c * sinh(x2)
y2(x1,x2) = sinh(x1) + x2
auf dem Wertebereicch von y lokal Umkehrfunktionen x(y) definiert? Berechnen sie für c = 2 die Ableitung x'(y) an der Stelle y0 = (0,0)
(Lsg: c nicht aus ]0,1]; x'(0,0) = [(-1,2),(1,-1)])
Also bei diesem Beispiel hab ich keine Ahnung wie ich vorgehen muss. Vielleicht hat jemand einen Tip.
zum Zweiten:
Bestimmen sie die lokalen Maxima und Minima der Funktion f(w,x,y,z) = w+x+y+z unter den Nebenbedingungen [mm] w^3+w+x^3+x [/mm] = 2 und [mm] y^2+z^2 [/mm] = 1 durch Lagrange Parameter. Prüfen sie welche der gefundenen Punkte Minima und welche Maxima sind.
Also hier bin ich bereits auf die Lösungen gekommen: es gibt zwei Punkte (1,1,-2^(-1/2),-2^(-1/2)) und das gleiche mit positivem Vorzeichen.
Nun weiß ich jedoch nicht wie ich herausfinde ob es sich dabei um Minima oder Maxima handelt.
Normalerweise setzt man ja einfach nur die Werte in die zweiten Ableitungen der Funktion ein und überprüft die Definitheit der zugehörigen Jacobi Matrix. Bei dieser Funktion sind jedoch die zweiten Ableitungen alle gleich Null!
Was kann ich da machen??
mfg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Skydiver!
Bitte demnächst zwei völlig verschiedene Fragen in zwei verschiedene Diskussionsstränge stellen, Danke! 
Die Abbildung [mm] $(y_1,y_2)$ [/mm] ist genau dann für alle [mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] lokal umkehrbar, wenn für alle [mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] die Jacobimatrix regulär ist, also dessen Determinante nicht verschwindet.
Nun ist
[mm] $J_y(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \pmat {\frac{\partial y_1}{\partial x_1}(x_1,x_2) & \frac{\partial y_1}{\partial x_2}(x_1,x_2) \\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}(x_1,x_2) & \frac{\partial y_2}{\partial x_2}(x_1,x_2) } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & c \cdot \cosh(x_2) \\ \cosh(x_1) & 1}$,
[/mm]
also:
[mm] $\det(J_y(x_1,x_2) [/mm] = 1-c [mm] \cdot \cosh(x_1)\cosh(x_2)$.
[/mm]
Hast du jetzt eine Idee, wie man auf den Bereich kommt, in dem sich $c$ bewegen muss:
Beachte dabei bitte, dass
[mm] $\cosh(x) \ge [/mm] 1$ für alle $x [mm] \in \IR$
[/mm]
gilt.
Weiterhin gilt für die Umkehrfunktion [mm] $(x_1(y_1,y_2),x_2(y_1,y_2)$:
[/mm]
[mm] $J_x(y_1,y_2) [/mm] = [mm] \left(J_y(x_1,x_2) \right)^{-1}$.
[/mm]
Hier ist also für $c=2$:
[mm] $J_x(y_1,y_2) [/mm] = [mm] \frac{1}{1-2 \cdot \cosh(x_1)\cosh(x_2)} \pmat{ 1 & -2 \cdot \cosh(x_2) \\ -\cosh(x_1) & 1}$,
[/mm]
also:
[mm] $J_x(0,0) [/mm] = [mm] \frac{1}{-1} \pmat{ 1 & -2 \\ -1& 1} [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 2 \\ 1 & -1}$,
[/mm]
wie behauptet.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo nochmal.
Besten Dank erstmal für die Antwort!
Also dass mit dem Definitionsbereich von c ist mir jetzt klar.
Jedoch den zweiten Punkt verstehe ich noch nicht so ganz.
Jx(y1,y2) ist gleich der Inversen [Jx(y1,y2)]^(-1)?
Bitte um ein paar erklärende Worte.
mfg.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 So 05.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Skydiver!
Hier hatte ich mich natürlich verschrieben. Ich habe es jetzt aber verbessert und jetzt sollte es klar sein.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo Skydiver,
> Nun weiß ich jedoch nicht wie ich herausfinde ob es sich
> dabei um Minima oder Maxima handelt.
> Normalerweise setzt man ja einfach nur die Werte in die
> zweiten Ableitungen der Funktion ein und überprüft die
> Definitheit der zugehörigen Jacobi Matrix. Bei dieser
> Funktion sind jedoch die zweiten Ableitungen alle gleich
> Null!
> Was kann ich da machen??
Die Nebenbedingungen spielen bei der Art des Extremum auch eine Rolle.
Das heißt, sie müssen bei den zweiten Ableitungen auch berücksichtigt werden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 So 05.06.2005 | | Autor: | Skydiver |
Bedeutet das, dass ich mir mit Hilfe der ersten Ableitungen auch die Lagrange Parameter für die Nebenbedingungen ausrechnen muss, diese dann in die Gleichungen einsetze, davon die 2. Ableitungen bilde, um diese dann mit Hilfe der Jacobi Matrix auf Definitheit zu untersuchen?
mfg.
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Hallo Skydiver,
> Bedeutet das, dass ich mir mit Hilfe der ersten Ableitungen
> auch die Lagrange Parameter für die Nebenbedingungen
> ausrechnen muss, diese dann in die Gleichungen einsetze,
> davon die 2. Ableitungen bilde, um diese dann mit Hilfe der
> Jacobi Matrix auf Definitheit zu untersuchen?
selbstverständlich.
Gruß
MathePower
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