Umkehrfunktion linearer Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 So 15.03.2009 | | Autor: | trouff |
| Aufgabe | Sei T eine lineare Abbildung [mm] \IR^{n} ->\IR^{n}
[/mm]
T ist bijektiv.
Folgt daraus das die Umkehrfunktion [mm] T^{-1} [/mm] linear ist ? |
Hallo liebe Mathefreunde.
Hier bin ich mal wieder mit einer Aufgabe, bei der ihr mir sagen könnt ob ich sie richtig gelöst habe. Ansosonsten bitte ich um Korrektur!
Danke im voraus!
Hier die Lösung:
Sei T: W -> V W,V [mm] \IR [/mm] ^{n}
w1,w2 [mm] \in [/mm] W [mm] \wedge [/mm] v1, v2 [mm] \wedge [/mm] V
T(w1 + w2) = T(w1) + T(w2) = v1 + v2 [mm] \in [/mm] V
[mm] T^{-1}(v1 [/mm] + v2) = [mm] T^{-1}(T(w1 [/mm] + w2)) = w1 + w2 [mm] \in [/mm] W
Sei [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
[mm] T^{-1} (\lambda [/mm] * v1) = [mm] T^{-1}(T(\lambda*w1))= \lambda [/mm] * w1 [mm] \in [/mm] W
-> [mm] T^{-1} [/mm] ist linear
Ist das so richtig?
Mfg trouff
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 So 15.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja, die Idee ist genau richtig. Aber die Reihenfolge ist wichtig:
1) Sei [mm] $w_1, w_2\in [/mm] W$ beliebig vorgegeben.
2) Dann gibt es [mm] $v_1,v_2\in [/mm] V$ mit [mm] $T(v_i)=w_i$ [/mm] (warum?)
3) Dann ist [mm] $T(w_1+w_2)=...=w_1+w_2$
[/mm]
und analog mit der Homogenität.
Gruß, Robert
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