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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 Fr 27.02.2015 | | Autor: | smoot |
| Aufgabe | (x,y [mm] \in \IR^{2})
[/mm]
y = ln ( [mm] e^{x} [/mm] + [mm] \wurzel{2*e^{x}*sinh(x)} [/mm] )
Es ist die Umkehrfunktion [mm] [f^{-1}(y)] [/mm] zu bestimmen. |
Hallo zusammen,
ich habe folgendes Problem:
<=> y = ln ( [mm] e^{x} [/mm] + [mm] \wurzel{2*e^{x}*sinh(x)} [/mm] )
[...]
<=> [mm] e^{2y} [/mm] - [mm] 2*e^{x}*e^{y} [/mm] = -1
Bis hierhin habe ich die Formel bereits aufgelöst.
Als Ergebnis habe ich nun:
<=> x = [mm] ln(\bruch{1}{2}*((-)e^{y}))
[/mm]
Jedoch bin ich mir nicht sicher ob ich das so schreiben kann, da der ln > 0 sein muss?!
Außerdem wollte ich die vorherige Gleichung in den cosh(y)
umwandeln und so die Gleichung zu x auflösen, also:
[mm] e^{2y} [/mm] - [mm] 2*e^{x}*e^{y} [/mm] = -1
zu => def. cosh(x): [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}
[/mm]
Rechenansatz:
[mm] e^{x} [/mm] = [mm] \bruch{-1-e^{2y}}{e^{y}*(-)2}
[/mm]
Aber ab hier weiß ich nicht weiter.
Danke für eure Hilfe.
*Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:03 Fr 27.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> (x,y [mm]\in \IR^{2})[/mm]
>
> y = ln ( [mm]e^{x}[/mm] + [mm]\wurzel{2*e^{x}*sinh(x)}[/mm] )
>
> Es ist die Umkehrfunktion [mm][f^{-1}(y)][/mm] zu bestimmen.
> Hallo zusammen,
> ich habe folgendes Problem:
>
> <=> y = ln ( [mm]e^{x}[/mm] + [mm]\wurzel{2*e^{x}*sinh(x)}[/mm] )
>
> [...]
>
> <=> [mm]e^{2y}[/mm] - [mm]2*e^{x}*e^{y}[/mm] = -1
Nicht ganz. Du hast da einmal beidseitig quadriert und daher gilt nur
[mm] $\Rightarrow e^{2y}- 2*e^{x}*e^{y}=-1$
[/mm]
>
> Bis hierhin habe ich die Formel bereits aufgelöst.
> Als Ergebnis habe ich nun:
>
> <=> x = [mm]ln(\bruch{1}{2}*((-)e^{y}))[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wirklich? Das bezweifle ich. Das solltest du uns jetzt doch bitte Schritt für Schritt vorrechnen.
> Jedoch bin ich mir nicht sicher ob ich das so schreiben
> kann, da der ln > 0 sein muss?!
Schreiben kannst du das natürlich so, aber es ist falsch.
Außerdem: Der Logarithmus is eine Funktion und keine Zahl. Er kann daher weder größer noch kleiner oder gleich Null sein. Du meinst vermutlich, dass das Argument der Logarithmusfunktion eine positive Zahl sein muss, wenn man sich beim Ergebnis auf reelle Zahlen beschränken möchte. Der Funktionswert der Logarithmusfunktion an einer bestimmten Stelle kann natürlich sehr wohl auch negativ sein. Auch unter diesem Gesichtspunkt ist die Aussage, "der ln" muss größer Null sein fragwürdig.
>
> Außerdem wollte ich die vorherige Gleichung in den
> cosh(y)
> umwandeln und so die Gleichung zu x auflösen, also:
Du kannst eine Gleichung nicht in eine Funktion "umwandeln"!
>
> [mm]e^{2y}[/mm] - [mm]2*e^{x}*e^{y}[/mm] = -1
>
> zu => def. cosh(x): [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}[/mm]
>
Gehe ich Recht in der Annahme, dass du den $cosh$ deswegen ins Spiel bringen möchtest, weil du eine Lösung deiner Aufgabe vorliegen hast, die besagt dass [mm]f^{-1}(y)=ln\left(cosh(y)\right)\mbox{ mit }y\in\IR_0^+[/mm] ist?
> Rechenansatz:
>
> [mm]e^{x}[/mm] = [mm]\bruch{-1-e^{2y}}{e^{y}*(-)2}[/mm]
>
Besser: [mm]e^x=\br{-1-e^{2y}}{-2*e^y}[/mm], denn das Minuszeichen allein in der Klammer ist doch recht eigenartig. Da hätte sich zumindest die Zwei dazu gesellen sollen. Aber trotzem
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Na das sieht doch jetzt aber viel besser aus als dein vorheriges Ergebnis der Formelumstellung.
> Aber ab hier weiß ich nicht weiter.
>
Die Hauptarbeit ist jetzt doch schon erledigt!
Erweitere den Bruch mit [mm] $\left(-1\right)$ [/mm] um die Vorzeichen zu sanieren und dividiere dann Zähler und Nenner durch [mm] $e^{y}$. [/mm] Dann sollte dich der [mm] $cosh\left(y\right)$ [/mm] schon anlachen.
Gruß RMix
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