Umkehrfunktion bilden < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mo 08.12.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktion f: [mm] (0,+\infty) [/mm] --> [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] \bruch{x^2-3}{x} [/mm] auf Injektivität und Surjektivität. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f und stellen Sie f und f^-1 graphisch dar. |
Hi!
Bei der Aufgabe habe ich Injektivität bereits gezeigt.
Jetzt stecke ich bei der Surjektivität fest...
Es muss ja gelten, dass für alle [mm] y\in\IR [/mm] ein [mm] x\in(0,+\infty) [/mm] existiert mit f(x) = y
also forme ich um:
y = [mm] \bruch{x^2-3}{x} \gdw yx=x^2-3 \gdw yx+3=x^2 \gdw...
[/mm]
Hier grübel ich schon seit einer stunde rum, wie ich weiter umformen sollte, komm aber nicht drauf :P
Schlussendlich muss ja ein term der form x=... rauskommen, wobei ich von diesem term dann ja auch gleich die inverse funktion herauslesen kann, nicht?
Könnt ihr mir hier weiterhelfen?
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> [mm]yx=x^2-3 \gdw yx+3=x^2 \gdw...[/mm]
>
> Hier grübel ich schon seit einer stunde rum, wie ich
> weiter umformen sollte, komm aber nicht drauf :P
Und jetzt alles auf eine Seite:
[mm] $x^2 [/mm] - yx - 3 = 0$
Das wär dann eine quadratische Gleichung in $x$; die kannst Du lösen, oder?
Gruss,
Hanspeter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mo 08.12.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Super, danke!
Eigentlich einfach! Oft sieht man den wald vor lauter bäumen nicht :P
Jetzt komme ich auf
[mm] x_{1,2}=\bruch{1}{2}*(y+-\wurzel{y^2+12}
[/mm]
Da ich die inverse Funktion suche, und eine Funktion ja immer rechtseindeutig sein muss, kann das ja nicht die inverse Funktion sein, oder?
Was muss ich hier noch beachten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 08.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Super, danke!
> Eigentlich einfach! Oft sieht man den wald vor lauter
> bäumen nicht :P
>
> Jetzt komme ich auf
>
> [mm]x_{1,2}=\bruch{1}{2}*(y+-\wurzel{y^2+12}[/mm]
Stimmt.
In der Aufgabenstellung steht: f: $ [mm] (0,+\infty) [/mm] $ --> $ [mm] \IR, [/mm] $ f(x) = $ [mm] \bruch{x^2-3}{x} [/mm] $.
Somit ist x>0
Für was entscheidest Du Dich also:
für [mm]x=\bruch{1}{2}*(y+\wurzel{y^2+12})[/mm]
oder
für [mm]x=\bruch{1}{2}*(y-\wurzel{y^2+12})[/mm] ?
FRED
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> Da ich die inverse Funktion suche, und eine Funktion ja
> immer rechtseindeutig sein muss, kann das ja nicht die
> inverse Funktion sein, oder?
> Was muss ich hier noch beachten?
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