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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von [mm] f(x)=\bruch{1}{1+\wurzel{x}}. [/mm] Bestätigen Sie, dass [mm] f(f^{-1}(x))=x [/mm] falls x aus der richtigen Definitionsmenge stammt. |
Hallo,
also die Umkehrfunktion zu finden ist nicht so schwer:
[mm] y=\bruch{1}{1+\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] \gdw y*(1+\wurzel{x})=1
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{x}=\bruch{1-y}{y} [/mm]
[mm] x=\bruch{(1-y)^2}{y^2} [/mm]
Auch dass [mm] f(f^{-1}(x))=x [/mm] ist kann ich zeigen, aber was hat es mit der Einschränkung zu tun, dass x aus der richtigen Definitionsmenge stammen muss ? Die wäre ja für die Umkehrfunktion $ 0 < x [mm] \le [/mm] 1 $ weil das die Wertemenge der ausgangsfunktion ist...
lg
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Hallo!
Dass der Definitionsbereich der Umkehrfunktion in der Wertemenge der Ausgangsfunktion liegt, muss meiner Ansicht nach nur gelten, wenn du $ [mm] f^{-1}(f(x)) [/mm] $ betrachtest.
Du betrachtest aber genau die umgekehrte Komposition $ [mm] f(f^{-1}(x))=x [/mm] $, d.h. der Wertebereich der Umkehrfunktion muss im Definitionsbereich der Ausgangsfunktion liegen.
Darf $x$ auch eine komplexe Zahl sein? Falls ihr nur mit reellwertigen Zahlen rechnet, ist $f$ nur für [mm] $x\ge0$ [/mm] definiert.
Da der Wertebereich von [mm] $f^{-1}$ [/mm] jedoch ohnehin nur nicht-negative Zahlen enthält, bräuchtest du auch den Definitionsbereich von [mm] $f^{-1}$ [/mm] nicht einschränken.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Mo 26.10.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
und danke für deine antwort. so ähnlich habe ich es mir auch gedacht. du hast mich nur an einem punkt falsch verstanden. wir haben gelernt, dass wenn man eine umkehrfunktion berechnet, diese als definitionsbereich den wertebereich der ausgangsfunktion besitzt. ihr wertebereich ist der definitionsbereich der ausgangsfunktion. letzteres scheint aber hier irgendwie nicht zuzutreffen weil man für x sehr wohl werte einsetzen kann, die nicht in $ 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 $
lg,
exe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Der Wertebereich von f ist das Intervall (0,1]. Weiter ist
[mm] $f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(1-x)^2}{x^2}$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] (0,1].
Um $ [mm] f(f^{-1}(x)) [/mm] $ zu berchnen , mußt Du [mm] \wurzel{f^{-1}(x)} [/mm] berechnen.
Für x [mm] \in [/mm] (0,1] ist dies = [mm] \bruch{1-x}{x} [/mm]
Für beliebiges x [mm] \not= [/mm] 0 wäre [mm] \wurzel{\bruch{(1-x)^2}{x^2}} [/mm] = [mm] \bruch{|1-x|}{|x|}
[/mm]
FRED
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