Umkehrfunktion - Hänge fest < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a.) Bestimmen Sie den Definitionsbereich und Wertebereich von f(x)
b.) Bilden Sie die Umkehrfunktion. Definieren Sie ebenfalls den Definitions- und Wertebereich.
c.) Ist f(x) symmetrisch? |
Hallo,
hänge leider ganz am Anfang bei folgender Funktion fest:
f(x)=1/ln(x+1)
Mein erster Schritt ist ja der, das ich nach x "ausrechne". Nur wie ziehe ich da am Besten x heraus?
Danke euch schonmal!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Mi 25.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallöchen,
der Logarithmus ist für positive Argumente definiert, d.h.
x+1 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > -1
Daher ist der Definitionsbereich von f [mm] \{x \in \IR | x>-1 \}
[/mm]
Der Logarithmus nimmt für diese Eingaben alle Werte in [mm] \IR [/mm] an, sein Kehrwert also auch. Der Wertebereich von f ist dann folglich [mm] \IR.
[/mm]
Die Umkehrfunktion bildet man generell, indem man x und y vertauscht und nach y wieder auflöst, also
y = [mm] \bruch{1}{ln(x+1)} [/mm] x und y vertauschen
x = [mm] \bruch{1}{ln(y+1)} [/mm] Kehrwert auf beiden Seiten bilden
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] = ln(y+1) e anwenden
[mm] e^{\bruch{1}{x}} [/mm] = y+1 1 abziehen
[mm] e^{\bruch{1}{x}}-1 [/mm] = y
Dies ist also Deine Umkehrfunktion, allerdings funktioniert das nur, wenn x [mm] \not= [/mm] 0 ist, da Du bei der Bildung des Kehrwertes durch x teilst. Der Fall x=0 muss daher gesondert betrachtet werden.
In Deine Umkehrfunktion darfst Du für x alles einsetzen außer der 0 aus genannten Gründen - ihr Def.-Bereich ist also [mm] \{x \in \IR | x\not=0 \}
[/mm]
Mit x durchläuft dann auch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ganz [mm] \IR, [/mm] und die e-Funktion ist größer als 0 für alle Argumente. Da aber noch 1 abgezogen wird, nimmt die Umkehrfunktion alle Werte größer als -1 an, d.h. der Wertebereich ist
[mm] \{y \in \IR| y>-1 \}
[/mm]
Es fragt sich, ob mit symmetrisch bei Euch achsensymmetrisch und punktsymmetrisch oder sonst irgendeine Symmetrie gemeint ist.
Hinreichendes Kriterium für Achsensymmetrie lautet
f(x) = f(-x)
und für Punktsymmetrie
f(x) = -f(-x)
Argumentiere mit den Def.- und Wertebereichen, dass das nicht sein kann!
Liebe Grüße,
Matthias.
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WOW! Vielen Dank für die flotte Antwort
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Hallo Klaus!
Da hat Matthias leider den Definitionsbereich etwas zu großzügig angegeben, da er noch eine Definitionslücke übersehen hat: Zusätzlich darf der Nenner eines Bruches auch nicht den Wert $0_$ annehmen!
Daher gilt zusätzlich: [mm] $\ln(x+1) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
Damit ergibt sich folgender Definitionsbereich:
$D \ = \ [mm] \left\{ \ x\in\IR \ \left| \ x>-1 \ \wedge \ x\not= 0 \ \right\} \ = \ \left]-1; 0\right[ \ \cup \ \left]0; \infty\right[$
Genauso sieht es auch mit dem Wertebereich aus, da wird der Wert $y \ = \ 0$ auch nicht angenommen.
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mi 25.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Ups jaaa, da hatta Recht, der Roadrunner *mäpmäp*
Danke!
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