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Hallo,
es soll über folgende Funktion die Ableitung der Umkehrfunktion gebildet werden:
y=arcsin(x)
Mein Ansatz:
Erst Funktion umkehren... Also nach x auflösen:
sin(y)=x
X und y vertauschen:
y=sin(x)
Nun ableiten:
y=cos(x)
Leider falsch... Wo ist mein Denkfehler?
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo,
> Hallo,
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> es soll über folgende Funktion die Ableitung der
> Umkehrfunktion gebildet werden:
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> y=arcsin(x)
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> Mein Ansatz:
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> Erst Funktion umkehren... Also nach x auflösen:
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> sin(y)=x
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> X und y vertauschen:
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> y=sin(x)
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> Nun ableiten:
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> y=cos(x)
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> Leider falsch... Wo ist mein Denkfehler?
Du musst jetzt die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion
[mm] \left(f^{-1}(x)\right)'=\bruch{1}{f'(y)}
[/mm]
benutzen. Im Prinzip hast du ein bisschen einen Variablensalat angerichtet, aber so ganz schlecht sind deine bisherigen Überlegungen nicht. Nennen wir sie Vorarbeiten. 
Wenn wir damit in obige Gleichung eingehen, dann bekommen wir
[mm] (arcsin(x))'=\bruch{1}{cos(y)}
[/mm]
Jetzt überlege dir mal eine Beziehung zwischen Sinus und Kosinus, mit deren Hilfe du den cos(y) durch sin(y) ersetzen kannst. Und da du selbst ja x=sin(y) festgesetzt hast, darfst du dies dann tun, so dass auf der rechten Seite schlussendlich eine (Ableitungs-)Funktion von steht.
Gruß, Diophant
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