Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:04 Di 04.11.2008 | | Autor: | Fuchsschwanz |
Hallo!
Kann ich wenn ich die Umkehrfunktion gegeben habe, daraus ganz normale (also vetauschen x und y) die "Ausgangsfunktion"(?) berechnen?
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Hallo,
vielleicht postest Du doch mal die Aufgabe.
Gruß v. Angela
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Gibt es keine direkte Aufgabe zu, ist ne Frage zu dieser Funktion,
f(x)=3x/(2x+5), wenn ich jetzt sagen würde, dass ist eine Umkehrfunktion, kann ich dann dort die Ausgangsfunktion bestimmen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gibt es keine direkte Aufgabe zu, ist ne Frage zu dieser
> Funktion,
>
> f(x)=3x/(2x+5), wenn ich jetzt sagen würde, dass ist eine
> Umkehrfunktion, kann ich dann dort die Ausgangsfunktion
> bestimmen?
naja, was hast Du denn gelernt? Bei einer Umkehrfunktion spricht man nur im Falle einer Bijektion, bzw. man kann eine Funktion umkehrbar machen, indem man sie auf einen Definitionsbereich einschränkt, wo sie injektiv ist und dann den Zielbereich dieser Einschränkung zudem so abändert, dass er gerade das Bild von diesem eingeschränkten Definitionsbereich unter der gegebenen Funktion [mm] $\black{f}$ [/mm] ist.
Beispiel:
$f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ist nicht bijektiv, sogar weder injektiv noch surjektiv. Man kann aber $f$ "bijektiv machen" (ich erfinde mal das Wort bijektivieren):
Z.B. könnte man $f$ auf [mm] $[2,\infty)$ [/mm] einschränken und dann $g: [mm] [2,\infty) \to f([2,\infty))=[4,\infty)$ [/mm] mit [mm] $g(x)=x^2$ [/mm] betrachten.
Üblicherweise nimmt man aber einen größtmöglichen Definitionsbereich, der wäre hier z.B. mit [mm] $[0,\infty)$ [/mm] gegeben (oder auch [mm] $(-\infty,0]$).
[/mm]
Wenn man nun die Funktion $f(x)=3x/(2x+5)$ betrachtet, so ist das sicher keine Bijektion [mm] $\IR \to \IR\,.$ [/mm] (Der Definitionsbereich kann ja schon gar nicht [mm] $\IR$ [/mm] sein. Warum?) Du könntest sie aber als Bijektion [mm] $\IR \setminus\{-2,5\} \to \IR \setminus\{1,5\}$ [/mm] betrachten. Und dann probiere mal, ob es Dir gelingt, jetzt die Umkehrfunktion explizit hinzuschreiben (ich kann Dir mit gewissen Stetigkeits-, Monotonieverhalten und mit einer Grenzwertbetrachtung von $f(x)$ bei $x [mm] \to \pm \infty$ [/mm] durchaus Argumente der Existenz der Umkehrfunktion liefern, ohne diese explizit angeben zu müssen).
Gruß,
Marcel
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