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| Aufgabe | 1. Geben Sie die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}(x) [/mm] der Funktion f(x) an, bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich!
a) f(x)= [mm] \bruch{x-2}{x+4} [/mm] x [mm] \not= [/mm] -4
b) f(x)= sin x x [mm] \in [/mm] [ [mm] \bruch{5}{2} \pi [/mm] ; [mm] \bruch{7}{2} \pi [/mm] ]
c) f(x)= ln(x²-4) für [mm] \vmat{x} [/mm] > 2 |
Hallo,
Also die Umkehrfunktionen bekomme ich für a) noch hin, aber ich verstehe das mit dem Definitionsbereich nicht ganz:
a) [mm] f^{-1}(x)= \bruch{2+4x²}{1-x²} [/mm] aber der Definitionsbereich soll [0;1) sein und das kann ich mir nicht erklären (also ich habe die Lösungen gegebn).
b) da hatten wir in der Übung, dass man die Sinusfunktion eben nur in bestimmten Bereichen umkehren kann, wie von - pi/2 bis pi/2 aber ich verstehe den Zusammenhang mit arcsinus nicht (also das hatte ich noch nie in der Schule). Leider konnte mir das der Tutor auch nicht so richtig erklären.
c) soll nicht umkehrbar sein, aber das verstehe ich auch nicht so ganz. Kann man Logarithmusfunktionen gernell nicht umkehren oder nur diese nicht?
Ok, vielen, vielen Dank für eure Hilfe!!
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Hallo CarolinchenBienchen,
> 1. Geben Sie die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}(x)[/mm] der Funktion f(x)
> an, bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich!
> a) f(x)= [mm]\bruch{x-2}{x+4}[/mm] x [mm]\not=[/mm] -4
> b) f(x)= sin x x [mm]\in[/mm] [ [mm]\bruch{5}{2} \pi[/mm] ; [mm]\bruch{7}{2} \pi[/mm]
> ]
> c) f(x)= ln(x²-4) für [mm]\vmat{x}[/mm] > 2
> Hallo,
> Also die Umkehrfunktionen bekomme ich für a) noch hin,
> aber ich verstehe das mit dem Definitionsbereich nicht
> ganz:
> a) [mm]f^{-1}(x)= \bruch{2+4x²}{1-x²}[/mm] aber der
> Definitionsbereich soll [0;1) sein und das kann ich mir
> nicht erklären (also ich habe die Lösungen gegebn).
Die ursprüngliche Funktion lautet dann:
[mm]f\left(x\right)=\wurzel{\bruch{x-2}{x+4}}[/mm]
Da die Wurzel nur positive Werte liefert, ist der Wertebereich der Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] auf [mm]W_{f}:=\IR^{+}_{0}[/mm] beschränkt.
Das heisst f(x) kann nur positive reelle Werte annehmen.
> b) da hatten wir in der Übung, dass man die Sinusfunktion
> eben nur in bestimmten Bereichen umkehren kann, wie von -
> pi/2 bis pi/2 aber ich verstehe den Zusammenhang mit
> arcsinus nicht (also das hatte ich noch nie in der Schule).
> Leider konnte mir das der Tutor auch nicht so richtig
> erklären.
Soll eine Funktion in einem Intervall umkehrbar sein, dann muß es in diesem Intervall zu jedem y aus dem Wertebereich [mm]\left(y \in W_{f}\right)[/mm] genau ein x aus dem Definitionsbereich [mm]\left(x \in D_{f}\right)[/mm] geben.
Siehe auch: Umkehrfunktion
Da für die Sinusfunktion im Intervall [mm]\left[-\bruch{\pi}{2}, +\bruch{\pi}{2}\right][/mm] jedem [mm]y \in W_{f}[/mm] genau ein [mm]x \in D_{f}[/mm] zugeordnet werden kann, ist sie dort auch umkehrbar.
[mm]\arcsin[/mm] ist die Umkehrfunktion des Sinus in diesem Intervall.
Der Arkussinus liefert für einen Wert [mm]x \in \left[-1, +1\right][/mm] einen entsprechenden Wert y, der dem zugehörigen Winkel entspricht.
> c) soll nicht umkehrbar sein, aber das verstehe ich auch
> nicht so ganz. Kann man Logarithmusfunktionen gernell nicht
> umkehren oder nur diese nicht?
Diese Logarithmusfunktion ist in dem Intervall [mm]\left(-\infty,-2\right) \cup \left(2,\infty\right)[/mm] nicht umkehrbar, da z.B.
[mm]f\left(3)=\ln\left(3^{2}-4\right)=\ln\left(9-4\right)=\ln\left(5\right)[/mm]
[mm]f\left(-3)=\ln\left(\left(-3\right)^{2}-4\right)=\ln\left(9-4\right)=\ln\left(5\right)[/mm]
Beschränkt man sich auf das Intervall [mm]\left(-\infty,-2\right)[/mm] oder [mm]\left(2,\infty\right)[/mm], so ist die Funktion dort auch umkehrbar.
>
> Ok, vielen, vielen Dank für eure Hilfe!!
Gruß
MathePower
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