Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Mo 28.01.2008 | | Autor: | patsch |
| Aufgabe | Aus der Erklärung der hyperbolischen Funktionen und ihrer Umkehrfunktion beweise man:
ar tanh(x) = [mm] \bruch{1}{2}ln(\bruch{1+x}{1-x}) [/mm]
für alle [mm] x\in(-1,1) [/mm] |
Wie ist der Ansatz für diese Aufgabe?
mfg patsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo patsch!
Wende die Definition des [mm] $\tanh(x)$ [/mm] an und stelle dann nach $x \ = \ ...$ um:
[mm] $$\tanh(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sinh(x)}{\cosh(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mo 28.01.2008 | | Autor: | patsch |
Ja diese Idee hatte ich auch schon, jedoch komme ich hier nicht weiter. Bei einer anderen Aufgabe haben wir dann [mm] e^x [/mm] = z gesetzt, dann haben wir eine quadratische Gleichung erhalten und somit die Nullstellen dieser Gleichung berechnet. Jene Nullstelle die größer als Null war, haben wir dann für [mm] e^x [/mm] wieder eingesetzt. Anschließend haben wir dann noch den nat. Logarithmus gezogen und die Variablen vertauscht. Bei dieser Aufgabe weis ich jedoch nicht wie man die Nullstellen der quadratische Gleichung [mm] 0=z^2-yz^2-y-1 [/mm] berechnet.
mfg patsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
[mm] y=\bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}
[/mm]
[mm] y(e^{2x}+1)=e^{2x}-1
[/mm]
[mm] e^{2x}y+y=e^{2x}-1
[/mm]
[mm] y+1=e^{2x}-e^{2x}y
[/mm]
[mm] y+1=e^{2x}(1-y)
[/mm]
...
Kommst du nun weiter?
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