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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Janni |
Hallo,
ich komme hier leider nicht weiter.
Gegeben sind die Funktionen f(x)= 0,5 * [mm] 2^x [/mm] und g(x)= -3 * 2^-2x.
Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsterme f^-1(x) und g^-1(x) und geben Sie die Funktionen f^-1 und g^-1 an.
Ich weiß nur, dass man irgendetwas mit dem Logarithmus machen muss.
Ich habe aber sonst keine Idee.
Vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo, Janni,
schreibe $2$ als [mm] $e^{\ln 2}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Janni |
Hallo,
das man x und y vertauschen muss, weiß ich noch, aber dann hört es bei mir auf, ehrlich geasgt. Ich weiß nicht, wie man das ^y wegkriegt. Tut mir wirklich leid. Aber vielleicht irgendetwas mit Wurzel ziehen????
Ich habe keinen blassen Schimmer. Aber danke für die Mühe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Janni!
Wir haben die Gleichung
$3x = [mm] 2^y$
[/mm]
und wollen nach $y$ auflösen. Dann müssen wir die Funktion "$2$ hoch nehmen" rückgängig machen. Das macht man mit dem Logarithmus (zur Basis $2$).
Die Umkehrfunktion von $x [mm] \mapsto 2^x$ [/mm] ist $x [mm] \mapsto \log_2(x)$ [/mm] (für $x>0$).
Es gilt also:
[mm] $2^{\log_2(x)} [/mm] =x$ für alle $x>0$
und
[mm] $\log_2(2^x) [/mm] = x$ für alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Daher müssen wir auf beiden Seiten von
$2x = [mm] 2^y$ [/mm]
den Logarithmus zur Basis $2$ nehmen und erhalten:
(*) [mm] $\log_2(2x) [/mm] = [mm] \log_2(2^y) [/mm] = y$.
Wegen [mm] $\log_2(2x) [/mm] = [mm] \log_2(2) [/mm] + [mm] \log_2(x) [/mm] = 1 + [mm] \log_2(x)$ [/mm] gilt:
$y = 1 + [mm] \log_2(x)$.
[/mm]
Man beachte, dass man auf der linken Seite von (*) nur den Logarithmus bilden darf, wenn $3x>0$ gilt, d.h. wenn $x>0$ ist.
Wir haben also:
[mm] $f^{-1}(x) [/mm] = 1 + [mm] \log_2(x)$ [/mm] für $x>0$, also: [mm] $D_f=\IR^{>0}:=\{x \in \IR\, :\, x>0\}$.
[/mm]
Machen wir doch mal die Probe:
Für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $f^{-1}(f(x)) [/mm] = 1 + [mm] \log_2(0,5 \cdot 2^x) [/mm] = 1 + [mm] \log_2(0,5) [/mm] + [mm] \log_2(2^x) [/mm] = 1 - 1 + x = x$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
und für alle $x [mm] \in \IR$, [/mm] $x>0$, gilt:
[mm] $f(f^{-1}(x)) [/mm] = 0,5 [mm] \cdot 2^{1 + \log_2(2)} [/mm] = 0,5 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot 2^{\log_2(x)} [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] x = x$ .
Alles klar? 
Den zweiten Teil kriegst du jetzt vielleicht selber zu Ende gerechnet, oder?
Liebe Grüße
Julius
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