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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Di 28.02.2006 | | Autor: | Clarcie |
Hallo
Kann mir jemand erklären, warum eine Funktion bzw. z.B. die e-Funktion umkehrbar ist, weil sie streng monoton steigend ist?
Danke für eure Hilfe.
Clarcie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Di 28.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Clarcie,
> Kann mir jemand erklären, warum eine Funktion bzw. z.B. die
> e-Funktion umkehrbar ist, weil sie streng monoton steigend
> ist?
Du hast schon richtig erkannt, dass eine Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] nur dann umkehrbar ist, wenn sie entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Aber warum?
Bei einer streng monotonen Funktion wird jeder y-Wert nur einmal erreicht. Deshalb ist die Zuordnung $x [mm] \mapsto [/mm] f(x)=y$ eineindeutig, d.h. wenn man ein $y$ vorgibt, kann man sofort das Urbild [mm] $f^{-1}(y)=x$ [/mm] angeben.
Gäbe es jedoch [mm] $x_{1},\ x_{2}$ [/mm] mit [mm] $x_{1}\not=x_{2}$ [/mm] und [mm] $f(x_{1})=f(x_{2})=y$ [/mm] (das könnte im Fall einer nicht streng monotonen Funktion passieren, siehe Beispiel unten), so wäre die Umkehrfunktion nicht eindeutig:
[mm] $f^{-1}(y)=x_{1}$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(y)=x_{2}$.
[/mm]
Eine Funktion darf aber jedem Wert nur einen Funktionswert zuordnen.
Betrachten wir mal eine Funktion, die keine Umkehrfunktion hat: [mm] $f(x)=x^{2}$.
[/mm]
Es gilt ja $f(2)=4$ und $f(-2)=4$. Es wäre also nicht möglich, [mm] f^{-1}(4) [/mm] zu definieren, denn es kann nicht gleichzeitig [mm] $f^{-1}(4)=2$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(4)=-2$ [/mm] gelten.
Ist dir jetzt ein bisschen klarer geworden, was es mit den Umkehrfunktionen auf sich hat? Frag ansonsten nochmal nach!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Di 28.02.2006 | | Autor: | Clarcie |
Thx für die nette und gut verständliche Erklärung! 
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