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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Di 03.03.2015 | | Autor: | smoot |
| Aufgabe | Bilden Sie die Umkehrfunktion zu:
y = [mm] \bruch{coth(x)-tanh(x)}{coth(x)+tanh(x)}
[/mm]
für [mm] x\in\IR [/mm] |
Abend zusammen,
Vorab erstmal meine Rechnung:
<=> [mm] y[\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}+\bruch{sinh(x)}{cosh(x)}]=\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}-\bruch{sinh(x)}{cosh(x)}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{ycosh(x)^{2}}{sinh(x)}+ysinh(x)=\bruch{cosh(x)^{2}}{sinh(x)}-sinh(x)
[/mm]
<=> [mm] y(cosh(x)^{2}+sinh(x)^{2})=cosh(x)^{2}-sinh(x)^{2}
[/mm]
(Additionstheoreme verwenden auf beiden Seiten)
<=> ycosh(2x) = 1
<=> [mm] \bruch{1}{y} [/mm] = cosh(2x)
<=> [mm] \bruch{arcosh(\bruch{1}{y})}{2} [/mm] = x = [mm] f^{-1}(x)
[/mm]
Wolfram Alpha gibt mir jedoch als Ergebnis:
[mm] f^{-1}(x)= \pm [/mm] arctanh [mm] (\bruch{\wurzel{1-x}}{\wurzel{x+1}})
[/mm]
Frage
Ist: [mm] \bruch{arcosh(\bruch{1}{y})}{2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] arctanh [mm] (\bruch{\wurzel{1-x}}{\wurzel{x+1}}), [/mm] oder habe ich mich bloß verrechnet bzw. einen komplizierteren "Weg" gerechnet?
Und falls ja, wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank schon mal.
*Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*
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Hallo smoot,
> Bilden Sie die Umkehrfunktion zu:
> y = [mm]\bruch{coth(x)-tanh(x)}{coth(x)+tanh(x)}[/mm]
>
> für [mm]x\in\IR[/mm]
> Abend zusammen,
>
> Vorab erstmal meine Rechnung:
>
>
> <=>
> [mm]y[\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}+\bruch{sinh(x)}{cosh(x)}]=\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}-\bruch{sinh(x)}{cosh(x)}[/mm]
>
> <=>
> [mm]\bruch{ycosh(x)^{2}}{sinh(x)}+ysinh(x)=\bruch{cosh(x)^{2}}{sinh(x)}-sinh(x)[/mm]
>
> <=> [mm]y(cosh(x)^{2}+sinh(x)^{2})=cosh(x)^{2}-sinh(x)^{2}[/mm]
>
> (Additionstheoreme verwenden auf beiden Seiten)
>
> <=> ycosh(2x) = 1
>
> <=> [mm]\bruch{1}{y}[/mm] = cosh(2x)
>
> <=> [mm]\bruch{arcosh(\bruch{1}{y})}{2}[/mm] = x = [mm]f^{-1}(x)[/mm]
>
Richtig ist:
[mm]x= \blue{\pm} \bruch{arcosh(\bruch{1}{y})}{2}[/mm]
Es gibt demnach für ein y zwei mögliche x-Werte.
Daher ist die Umkehrfunktion auf einen Bereich einzuschränken.
>
>
> Wolfram Alpha gibt mir jedoch als Ergebnis:
>
> [mm]f^{-1}(x)= \pm[/mm] arctanh
> [mm](\bruch{\wurzel{1-x}}{\wurzel{x+1}})[/mm]
>
>
> Frage
> Ist: [mm]\bruch{arcosh(\bruch{1}{y})}{2}[/mm] = [mm]\pm[/mm] arctanh
> [mm](\bruch{\wurzel{1-x}}{\wurzel{x+1}}),[/mm] oder habe ich mich
> bloß verrechnet bzw. einen komplizierteren "Weg"
> gerechnet?
> Und falls ja, wo liegt mein Fehler?
>
Deine Rechnung ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es gilt aber auch:
[mm]\pm \bruch{arcosh(\bruch{1}{y})}{2} = \pm artanh (\bruch{\wurzel{1-y}}{\wurzel{y+1}})[/mm]
> Vielen Dank schon mal.
>
> *Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Di 03.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo smoot,
>
>
> > Bilden Sie die Umkehrfunktion zu:
> > y = [mm]\bruch{coth(x)-tanh(x)}{coth(x)+tanh(x)}[/mm]
> >
> > für [mm]x\in\IR[/mm]
> > Abend zusammen,
> >
> > Vorab erstmal meine Rechnung:
> >
> >
> > <=>
> >
> [mm]y[\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}+\bruch{sinh(x)}{cosh(x)}]=\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}-\bruch{sinh(x)}{cosh(x)}[/mm]
> >
> > <=>
> >
> [mm]\bruch{ycosh(x)^{2}}{sinh(x)}+ysinh(x)=\bruch{cosh(x)^{2}}{sinh(x)}-sinh(x)[/mm]
> >
> > <=> [mm]y(cosh(x)^{2}+sinh(x)^{2})=cosh(x)^{2}-sinh(x)^{2}[/mm]
> >
> > (Additionstheoreme verwenden auf beiden Seiten)
> >
> > <=> ycosh(2x) = 1
> >
> > <=> [mm]\bruch{1}{y}[/mm] = cosh(2x)
> >
> > <=> [mm]\bruch{arcosh(\bruch{1}{y})}{2}[/mm] = x = [mm]f^{-1}(x)[/mm]
> >
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>
> Richtig ist:
>
> [mm]x= \blue{\pm} \bruch{arcosh(\bruch{1}{y})}{2}[/mm]
>
>
> >
> >
> > Wolfram Alpha gibt mir jedoch als Ergebnis:
> >
> > [mm]f^{-1}(x)= \pm[/mm] arctanh
> > [mm](\bruch{\wurzel{1-x}}{\wurzel{x+1}})[/mm]
> >
> >
> > Frage
> > Ist: [mm]\bruch{arcosh(\bruch{1}{y})}{2}[/mm] = [mm]\pm[/mm] arctanh
> > [mm](\bruch{\wurzel{1-x}}{\wurzel{x+1}}),[/mm] oder habe ich mich
> > bloß verrechnet bzw. einen komplizierteren "Weg"
> > gerechnet?
> > Und falls ja, wo liegt mein Fehler?
> >
>
>
> Deine Rechnung ist richtig.
>
> Es gilt aber auch:
>
> [mm]\pm \bruch{arcosh(\bruch{1}{y})}{2} = \pm arctanh (\bruch{\wurzel{1-y}}{\wurzel{y+1}})[/mm]
Nur ne kleine Anmerkung: Zumindest ich habe noch gelernt, dass die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen die Areafunktionen sind, wohingegen die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen die Arcusfunktionen sind, deshalb auch arcosh oder artanh, aber arccos und arctan (also ein c weniger bei artanh).
Gruss,
Chris
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> > Vielen Dank schon mal.
> >
> > *Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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