Umkehrfkt. von tanh & coth < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Di 29.07.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Beweisen Sie die Rechenformeln für y=artanh [mm] x=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{1+x}{1-x}\right) [/mm] und y=arcoth [mm] x=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{x+1}{x-1}\right) [/mm] |
Hi!
Da die Areafunktionen ja die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen sind wollte ich die Formeln beweisen, indem ich die Umkehrfunktionen der entsprechenden Hyperbelfunktionen bilde.
Ich komme irgendwie auf die richtigen Ergebnisse nur kommt mir der Rechenweg nicht so ganz richtig vor:
Zu y=artanh [mm] x=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{1+x}{1-x}\right):
[/mm]
tanh [mm] x=y=\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
[/mm]
[mm] y*e^x+y*e^{-x}-e^x+e^{-x}=0
[/mm]
[mm] e^x*(y-1)+e^{-x}*(y+1)=0 [/mm]
[mm] e^{2x}*(y-1)+1*(y+1)=0
[/mm]
Kann ich jetzt so weiterschreiben indem ich -1 ausklammere?
[mm] -e^{2x}*(1-y)+1*(y+1)=0
[/mm]
[mm] -e^{2x}*(1-y)=-(y+1)
[/mm]
[mm] 0=\bruch{y+1}{e^{2x}*(1-y)}
[/mm]
[mm] 0=\bruch{1}{e^{2x}}*\bruch{1+y}{1-y}
[/mm]
[mm] 0=-2x+ln\left(\bruch{1+y}{1-y}\right)
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{1+y}{1-y}\right)
[/mm]
Mir kommt es irgendwie so vor als hätte ich da einiges unnötig hin und her geschoben...
Bei arcoth [mm] x=y=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{x+1}{x-1}\right) [/mm] genauso:
coth [mm] x=y=\bruch{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}
[/mm]
[mm] y*e^x-y*e^{-x}-e^x-e^{-x}=0
[/mm]
[mm] e^x*(y-1)-e^{-x}*(y+1)=0
[/mm]
[mm] e^{2x}*(y-1)-1*(y+1)=0
[/mm]
[mm] e^{2x}*(y-1)=(y+1)
[/mm]
[mm] 0=\bruch{y+1}{e^{2x}*(y-1)}
[/mm]
[mm] 0=\bruch{1}{e^{2x}}*\bruch{y+1}{y-1}
[/mm]
[mm] 0=-2x+ln\left(\bruch{y+1}{y-1}\right)
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{y+1}{y-1}\right)
[/mm]
So da bin ich mal gespannt ob das so richtig ist :)
Besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Di 29.07.2008 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie die Rechenformeln für y=artanh
> [mm]x=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{1+x}{1-x}\right)[/mm] und y=arcoth
> [mm]x=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)[/mm]
> Hi!
> Da die Areafunktionen ja die Umkehrfunktionen der
> Hyperbelfunktionen sind wollte ich die Formeln beweisen,
> indem ich die Umkehrfunktionen der entsprechenden
> Hyperbelfunktionen bilde.
> Ich komme irgendwie auf die richtigen Ergebnisse nur kommt
> mir der Rechenweg nicht so ganz richtig vor:
>
> Zu y=artanh
> [mm]x=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{1+x}{1-x}\right):[/mm]
>
> tanh [mm]x=y=\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}[/mm]
>
> [mm]y*e^x+y*e^{-x}-e^x+e^{-x}=0[/mm]
>
> [mm]e^x*(y-1)+e^{-x}*(y+1)=0[/mm]
>
> [mm]e^{2x}*(y-1)+1*(y+1)=0[/mm]
Bis hierhin ist alles richtig. Weiter fogt dann
[mm] e^{2x} [/mm] = (1+y)/(1-y), also
2x = ln((1+y)/(1-y)).
Jetzt noch mit 2 dividieren
> Kann ich jetzt so weiterschreiben indem ich -1
> ausklammere?
> [mm]-e^{2x}*(1-y)+1*(y+1)=0[/mm]
>
> [mm]-e^{2x}*(1-y)=-(y+1)[/mm]
>
> [mm]0=\bruch{y+1}{e^{2x}*(1-y)}[/mm]
Das ist Unfug !! Du hast durch [mm] e^{2x} [/mm] div. , Dann steht doch links keine Null !!
>
> [mm]0=\bruch{1}{e^{2x}}*\bruch{1+y}{1-y}[/mm]
>
> [mm]0=-2x+ln\left(\bruch{1+y}{1-y}\right)[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{1+y}{1-y}\right)[/mm]
>
> Mir kommt es irgendwie so vor als hätte ich da einiges
> unnötig hin und her geschoben...
>
> Bei arcoth [mm]x=y=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)[/mm]
> genauso:
Das habe ich nicht mehr überprüft , geht aber wie oben
> coth [mm]x=y=\bruch{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}[/mm]
>
> [mm]y*e^x-y*e^{-x}-e^x-e^{-x}=0[/mm]
>
> [mm]e^x*(y-1)-e^{-x}*(y+1)=0[/mm]
>
> [mm]e^{2x}*(y-1)-1*(y+1)=0[/mm]
>
> [mm]e^{2x}*(y-1)=(y+1)[/mm]
>
> [mm]0=\bruch{y+1}{e^{2x}*(y-1)}[/mm]
>
> [mm]0=\bruch{1}{e^{2x}}*\bruch{y+1}{y-1}[/mm]
>
> [mm]0=-2x+ln\left(\bruch{y+1}{y-1}\right)[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{y+1}{y-1}\right)[/mm]
>
> So da bin ich mal gespannt ob das so richtig ist :)
> Besten Gruß,
> tedd
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Di 29.07.2008 | | Autor: | tedd |
Ouh na klar,
danke für die Antwort.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Besten Gruß,
tedd
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