Umkehrfkt. sqrt{cosh(x)-2} < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Di 29.07.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Umkehrbarkeit:
[mm] f(x)=\sqrt{cosh(x)-2} [/mm] |
Hi!
Also erstmal wollte ich den Definitionsbereich bestimmen.
[mm] cosh(x)\ge2
[/mm]
Dann habe ich geschaut wann cosh(x)=2 wird, das habe ich mit
[mm] cosh(x)=\bruch{1}{2}*(e^x+e^{-x}) [/mm] gemacht. Ist das zu umständlich?
Also:
[mm] \bruch{1}{2}*(e^x+e^{-x})=2
[/mm]
[mm] (e^x+e^{-x})=4
[/mm]
[mm] e^x-4+e^{-x}=0
[/mm]
[mm] z:=e^x
[/mm]
[mm] e^{-x}=e^{x^{-1}}=z^{-1}
[/mm]
[mm] z-4+z^{-1}=0
[/mm]
[mm] z^2-4z+1=0
[/mm]
[mm] p\q-Formel:
[/mm]
[mm] z_{1/2}=2\pm\sqrt{3}
[/mm]
[mm] e^{x_1}=z_1=2+\sqrt{3}
[/mm]
[mm] \gdw x_1=ln(2+\sqrt{3})
[/mm]
[mm] e^{x_2}=z_2=2-\sqrt{3}
[/mm]
[mm] \gdw x_2=ln(2-\sqrt{3})
[/mm]
Jetzt bin ich leicht verwirrt.
Das heisst doch, dass in dem Intervall [mm] \{x|ln(2-\sqrt{3})
Dann wäre [mm] D_f=\{x|ln(2+\sqrt{3})
Der Wertebereich ist dann [mm] W_f=\{y|y\ge0\} [/mm] ...
Hier kann ich nur eine "Not-Umkehrfunktion" bilden indem ich einen Teil des Definitionsbereichs wegnehme:
neuer Definitionsbereich:
[mm] D_f=\{x|x>ln(2+\sqrt{3})\}
[/mm]
der neue Wertebereich bleibt gleich: [mm] W_f=\{y|y\ge0\}
[/mm]
[mm] y=\sqrt{cosh(x)-2}
[/mm]
[mm] y^2=cosh(x)-2
[/mm]
[mm] y^2=\bruch{1}{2}*(e^x+e^{-x})-2
[/mm]
[mm] 0=e^x+e^{-x}-2*y^2-4
[/mm]
[mm] z:=e^x
[/mm]
[mm] 0=z-2y^2-4+z^{-1}
[/mm]
[mm] 0=z^2-z*(2y^2+4)+1
[/mm]
p/q-Formel:(Da ich ja den Definitonsbereich "beschnitten" habe, schneide ich auch hier den "unteren" Teil weg)
[mm] z=y^2+2+\sqrt{y^4+4y^2+3}
[/mm]
Rücksubstitution [mm] z:=e^x
[/mm]
[mm] e^x=y^2+2+\sqrt{y^4+4y^2+3}
[/mm]
[mm] x=ln(y^2+2+\sqrt{y^4+4y^2+3})
[/mm]
dann wär meine Umkehrfunktion ja:
[mm] f(x)^{-1}=ln(x^2+2+\sqrt{x^4+4x^2+3})
[/mm]
Allerdings kann hier unter der Wurzel auch wieder was negatives stehen daher wäre der Defintionsbereich glaube ich ein anderer als der Wertebereich meiner "beschnittenen" Funktion aber diese müssen doch gleich sein oder nicht?
also [mm] W_f=D_f^{-1}
[/mm]
was hier nicht der Fall ist...
Hoffe mein vorgehen ist nicht total falsch aber das wird mir ja sicher wieder einer von euch sagen können ;)
Danke im vorraus und beste Grüße,
tedd
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Di 29.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Umkehrbarkeit:
Die Angabe der Umkehrfunktion wird in der Aufgabenstellung nicht verlangt.
Für den Fall der Umkehrbarkeit reicht es aus nachzuweisen, dass die Funktion f(x) stetig ist und in ihrem gesamten Definitionsbereich das gleiche (strenge) Monotonieverhalten zeigt
ODER dass es keine zwei x-Werte mit dem selben y-Wert gibt (was für die gegebene Funktion nicht stimmt).
Gruß Abakus
>
> [mm]f(x)=\sqrt{cosh(x)-2}[/mm]
> Hi!
> Also erstmal wollte ich den Definitionsbereich bestimmen.
> [mm]cosh(x)\ge2[/mm]
>
> Dann habe ich geschaut wann cosh(x)=2 wird, das habe ich
> mit
>
> [mm]cosh(x)=\bruch{1}{2}*(e^x+e^{-x})[/mm] gemacht. Ist das zu
> umständlich?
>
> Also:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*(e^x+e^{-x})=2[/mm]
> [mm](e^x+e^{-x})=4[/mm]
> [mm]e^x-4+e^{-x}=0[/mm]
>
> [mm]z:=e^x[/mm]
> [mm]e^{-x}=e^{x^{-1}}=z^{-1}[/mm]
>
> [mm]z-4+z^{-1}=0[/mm]
>
> [mm]z^2-4z+1=0[/mm]
>
> [mm]p\q-Formel:[/mm]
>
> [mm]z_{1/2}=2\pm\sqrt{3}[/mm]
>
> [mm]e^{x_1}=z_1=2+\sqrt{3}[/mm]
> [mm]\gdw x_1=ln(2+\sqrt{3})[/mm]
>
> [mm]e^{x_2}=z_2=2-\sqrt{3}[/mm]
> [mm]\gdw x_2=ln(2-\sqrt{3})[/mm]
>
> Jetzt bin ich leicht verwirrt.
> Das heisst doch, dass in dem Intervall
> [mm]\{x|ln(2-\sqrt{3})
> der kleiner als 2 ist annimmt richtig?
> Dann wäre [mm]D_f=\{x|ln(2+\sqrt{3})
> sonst unter der Wurzel ein negativer Term stehen würde.
>
> Der Wertebereich ist dann [mm]W_f=\{y|y\ge0\}[/mm] ...
>
> Hier kann ich nur eine "Not-Umkehrfunktion" bilden indem
> ich einen Teil des Definitionsbereichs wegnehme:
>
> neuer Definitionsbereich:
> [mm]D_f=\{x|x>ln(2+\sqrt{3})\}[/mm]
> der neue Wertebereich bleibt gleich: [mm]W_f=\{y|y\ge0\}[/mm]
>
> [mm]y=\sqrt{cosh(x)-2}[/mm]
> [mm]y^2=cosh(x)-2[/mm]
> [mm]y^2=\bruch{1}{2}*(e^x+e^{-x})-2[/mm]
> [mm]0=e^x+e^{-x}-2*y^2-4[/mm]
> [mm]z:=e^x[/mm]
> [mm]0=z-2y^2-4+z^{-1}[/mm]
> [mm]0=z^2-z*(2y^2+4)+1[/mm]
>
> p/q-Formel:(Da ich ja den Definitonsbereich "beschnitten"
> habe, schneide ich auch hier den "unteren" Teil weg)
>
> [mm]z=y^2+2+\sqrt{y^4+4y^2+3}[/mm]
> Rücksubstitution [mm]z:=e^x[/mm]
> [mm]e^x=y^2+2+\sqrt{y^4+4y^2+3}[/mm]
> [mm]x=ln(y^2+2+\sqrt{y^4+4y^2+3})[/mm]
> dann wär meine Umkehrfunktion ja:
> [mm]f(x)^{-1}=ln(x^2+2+\sqrt{x^4+4x^2+3})[/mm]
>
> Allerdings kann hier unter der Wurzel auch wieder was
> negatives stehen daher wäre der Defintionsbereich glaube
> ich ein anderer als der Wertebereich meiner "beschnittenen"
> Funktion aber diese müssen doch gleich sein oder nicht?
> also [mm]W_f=D_f^{-1}[/mm]
> was hier nicht der Fall ist...
>
> Hoffe mein vorgehen ist nicht total falsch aber das wird
> mir ja sicher wieder einer von euch sagen können ;)
>
> Danke im vorraus und beste Grüße,
> tedd
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Di 29.07.2008 | | Autor: | tedd |
Danke für die Antwort abakus :)
So hätte ich mir natürlich die ganze rumrechnerei gespart.
Aber um euch noch ein bisschen zu nerven :D :
Was wäre denn wenn die Aufgabenstellung lauten würde:
"Untersuchen Sie folgende Funktion auf Umkehrbarkeit (d.h. bestimmen Sie jeweils den Definitions- und Wertebereich dieser Funktion sowie die Umkehrfunktion bzw eine Not-Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertebereich!"
:)
sorry
Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Di 29.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke für die Antwort abakus :)
> So hätte ich mir natürlich die ganze rumrechnerei
> gespart.
>
> Aber um euch noch ein bisschen zu nerven :D :
>
> Was wäre denn wenn die Aufgabenstellung lauten würde:
>
> "Untersuchen Sie folgende Funktion auf Umkehrbarkeit (d.h.
> bestimmen Sie jeweils den Definitions- und Wertebereich
> dieser Funktion sowie die Umkehrfunktion bzw eine
> Not-Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertebereich!"
Da muss man natürlich rechnen. Günstig ist, wenn man vorher schon sieht, dass offensichtlich f(x)=f(-x) ist.
Gruß Abakus
>
> :)
> sorry
> Gruß,
> tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Di 29.07.2008 | | Autor: | tedd |
Ja das ist klar ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") - bedeutet ja, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird was heisst, dass die Funktion (ursprünglich) nicht umekhrbar ist.
Aber wie siehts mit meinen Definitions-/Wertebereichen aus?
Sind die und die "Not-"Umkehrfunktion richtig?
Danke Loddar, die Wurzel in meiner Umkehrfunktion kann natürlich NICHT negativ werden. Hatte das irgendwie nicht ganz zu ende gedacht vorhin. Und danke ebenfalls für den korrigierten Definitionsbereich.
Aber das würde wiederum heissen:
[mm] D_f^{-1}=\IR
[/mm]
was wieder etwas anderes ist als mein Wertebereich
[mm] W_f=\{y|y\ge0\}
[/mm]
der Wertebereich der Umkehrfunktion stimmt aber mit:
[mm] W_f^{-1}=\{y|y\ge ln(2+\sqrt{3}\}=D_f
[/mm]
Ich nehme mal an, dass ich für die Umkehrfunktion einen anderen Defintionsbereich habe als den Wertebereich der "beschnittenen" Funktion hängt damit zusammen, dass es sich ursprünglich um eine nicht umkehrbare Funktion gehandelt hat?
Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Ja das ist klar - bedeutet ja, dass der Graph an der
> y-Achse gespiegelt wird was heisst, dass die Funktion
> (ursprünglich) nicht umekhrbar ist.
> Aber wie siehts mit meinen Definitions-/Wertebereichen
> aus?
> Sind die und die "Not-"Umkehrfunktion richtig?
Die "Not"-Umkehrfunktion stimmt.
>
> Danke Loddar, die Wurzel in meiner Umkehrfunktion kann
> natürlich NICHT negativ werden. Hatte das irgendwie nicht
> ganz zu ende gedacht vorhin. Und danke ebenfalls für den
> korrigierten Definitionsbereich.
>
> Aber das würde wiederum heissen:
>
> [mm]D_f^{-1}=\IR[/mm]
> was wieder etwas anderes ist als mein Wertebereich
Auch bei dieser "Not"-Umkehrfunktion stellt man fest, daß
[mm]f^{-1}\left(x\right)=f^{-1}\left(-x\right)[/mm]
Die "Not"-Umkehrfunktion ist hier nicht eindeutig, denn zu zwei verschieden x-Werten gibt es einen y-Wert. Deshalb muß man hier den Definitionsbereich einschränken:
[mm]D_f^{-1}=\IR_{0}^{+}=\left\{x \in \IR \left| x \ge 0\right\}[/mm]
> [mm]W_f=\{y|y\ge0\}[/mm]
>
>
> der Wertebereich der Umkehrfunktion stimmt aber mit:
> [mm]W_f^{-1}=\{y|y\ge ln(2+\sqrt{3}\}=D_f[/mm]
>
> Ich nehme mal an, dass ich für die Umkehrfunktion einen
> anderen Defintionsbereich habe als den Wertebereich der
> "beschnittenen" Funktion hängt damit zusammen, dass es sich
> ursprünglich um eine nicht umkehrbare Funktion gehandelt
> hat?
> Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Der Definitonsbereich lautet hier:
