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| Aufgabe | Geben Sie für den Ringisomorphismus
[mm] \IZ_{65}\to\IZ_{13}\times\IZ_5, [/mm] x mod 65 [mm] \to [/mm] (x mod 13,x mod 5)
die Umkehrabbildung an. |
Guten Morgen,
Ich schreibe hier einfach mal die Lösung hin, wie wir sie besprochen haben:
Gesucht:
x mit x=a mod 13
x=b mod 5
oBdA: Betrachte a=1, b=0 und a=0, b=1
Fall1: x=0 mod 5, x=1 mod 13
Setze x= 65 -5*5=40
[mm] \Rightarrow [/mm] Urbild von (1,0)=40
Fall2: x=1 mod 5, x=0 mod 13
Setze x= 65-39=26
[mm] \Rightarrow [/mm] Urbild von (0,1)=26
[mm] \Rightarrow [/mm] Umkehrabbildung von (a mod 13, b mod 5) [mm] \to [/mm] 40a+26b mod65
Mein Problem:
Die Zeilen, die in Fall 1 und Fall 2 mit "Setze" beginnen, erscheinen mir willkürlich. Warum 5*5 und nicht 4*5? Wie komme ich auf diese Faktoren?
Vielen, Vielen Dank für jeden Tipp!
Grüße,
Duke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Do 01.04.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo Duke!
> Geben Sie für den Ringisomorphismus
> [mm]\IZ_{65}\to\IZ_{13}\times\IZ_5,[/mm] x mod 65 [mm]\to[/mm] (x mod 13,x
> mod 5)
> die Umkehrabbildung an.
> Guten Morgen,
>
> Ich schreibe hier einfach mal die Lösung hin, wie wir sie
> besprochen haben:
> Gesucht:
> x mit x=a mod 13
> x=b mod 5
> oBdA: Betrachte a=1, b=0 und a=0, b=1
> Fall1: x=0 mod 5, x=1 mod 13
> Setze x= 65 -5*5=40
> [mm]\Rightarrow[/mm] Urbild von (1,0)=40
> Fall2: x=1 mod 5, x=0 mod 13
> Setze x= 65-39=26
> [mm]\Rightarrow[/mm] Urbild von (0,1)=26
> [mm]\Rightarrow[/mm] Umkehrabbildung von (a mod 13, b mod 5) [mm]\to[/mm]
> 40a+26b mod65
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> Mein Problem:
> Die Zeilen, die in Fall 1 und Fall 2 mit "Setze" beginnen,
> erscheinen mir willkürlich. Warum 5*5 und nicht 4*5? Wie
> komme ich auf diese Faktoren?
>
> Vielen, Vielen Dank für jeden Tipp!
> Grüße,
> Duke
Der Ansatz für die Umkehrabbildung ist es, Elemente a und b zu finden, die dem Wert (1,0) und (0,1) auf der rechten Seite von [mm]\IZ_{65}\to\IZ_{13}\times\IZ_5[/mm] entspricht. Diese Suche ist stellt sich in der angegebenen Lösung etwas 'willkürlich' dar, als wären a=40 und b=39 geraten worden. Man kann solche Zahlen mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus' finden. Raten ist aber ebenso möglich.
[mm] $65-4\cdot5=65-20=45\not\equiv1 \mod [/mm] 13$, daher kannst du das nicht verwenden.
Wenn du noch Fragen hast, melde dich,
LG Micha 
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