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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Mo 28.04.2008 | | Autor: | MarxK |
Hallo!
Man kann doch beweisen, dass für eine Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y und M [mm] \subset [/mm] X gilt:
(*): M [mm] \subset f^{-1}(f(M))
[/mm]
Was jedoch, wenn M:= {a,b} und die Abbildung a [mm] \mapsto [/mm] 1 und b [mm] \mapsto [/mm] 1 ist?
Dann ist [mm] f^{-1}(f(M)) [/mm] = [mm] f^{-1}(1) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] im Sinne der Definition der Abbildung, die besagt, dass jedem Element einer Urbildmenge eindeutig ein Element der Bildmenge zugeordnet werden kann.
Dann hätte ich nach (*) M={a,b} [mm] \subset \emptyset, [/mm] was offensichtlich falsch ist.
Wo ist denn mein Denkfehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Mo 28.04.2008 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man kann doch beweisen, dass für eine Abbildung f: X [mm]\to[/mm] Y
> und M [mm]\subset[/mm] X gilt:
>
> (*): M [mm]\subset f^{-1}(f(M))[/mm]
>
> Was jedoch, wenn M:= {a,b} und die Abbildung a [mm]\mapsto[/mm] 1
> und b [mm]\mapsto[/mm] 1 ist?
>
> Dann ist [mm]f^{-1}(f(M))[/mm] = [mm]f^{-1}(1)[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] im Sinne der
> Definition der Abbildung, die besagt, dass jedem Element
> einer Urbildmenge eindeutig ein Element der Bildmenge
> zugeordnet werden kann.
Hier müßte es der Genauigkeit halber schon mal [mm] f^{-1}(\{1\}) [/mm] heißen. Wenn f nicht bijektiv ist (wie hier), dann bezeichnet [mm] f^{-1} [/mm] keine Abbildung, sondern die Urbildmenge, genauer:
[mm] f^{-1}(N) [/mm] := {x [mm] \in [/mm] X| f(x) [mm] \in [/mm] N} für N [mm] \subset [/mm] Y
[mm] f^{-1}(\{1\}) [/mm] ist eben nicht leer, sondern enthält mindestens a und b.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mo 28.04.2008 | | Autor: | MarxK |
Wenn dem doch so ist, wieso gilt nicht auch ausnahmslos [mm] f^{-1}(f(M)) \subset [/mm] M?
Sprich, wenn die Urbildmenge [mm] f^{-1}(f(M)) [/mm] keine Teilmenge von M ist, dann muss [mm] f^{-1}(f(M)) [/mm] mind. ein Element enthalten, das nicht in M ist.
Aber woher soll denn dieses Element herkommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mo 28.04.2008 | | Autor: | statler |
> Wenn dem doch so ist, wieso gilt nicht auch ausnahmslos
> [mm]f^{-1}(f(M)) \subset[/mm] M?
Das kannnst du dir völlig problemlos an einem Beispiel verklaren. Nimm die konstante Funktion f(x) = 0 von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Setze M = {0}. Bilde f(M). Berechne [mm] f^{-1}(f(M)).
[/mm]
Gruß
Dieter
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