"Umgekehrte" Monotonie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Do 21.05.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | [mm] (\Omega,A,\mu) [/mm] sei ein Maßraum, [mm] A_0 [/mm] eine Algebra mit [mm] A=\sigma(A_0) [/mm] und f,g seien [mm] \mu-integrierbare [/mm] Fkten. Zeigen Sie:
[mm] \integral_{B}^{}{f d\mu}\le \integral_{B}^{}{g d\mu} [/mm] für alle [mm] B\in A_0\Rightarrow f\le [/mm] g [mm] \mu [/mm] fast sicher.
Hinweis: [mm] M=\{ B\in A, \integral_{B}^{}{f d\mu}\le \integral_{B}^{}{g d\mu}\} [/mm] ist eine monotone Klasse.
Definition: [mm] \integral_{B}^{}{f d\mu}:=\integral_{}^{}{f*1_B d\mu} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter. Da ja A Algebra, ist [mm] \sigma(A_0) [/mm] eine monotone Klasse, was auch der Tipp beinhaltet,aber dann...? Hat jemand vielleicht Tipps für mich, wie ich ans Ziel kommen kann? Wäre echt super. Danke!
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Do 21.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry
> [mm](\Omega,A,\mu)[/mm] sei ein Maßraum, [mm]A_0[/mm] eine Algebra mit
> [mm]A=\sigma(A_0)[/mm] und f,g seien [mm]\mu-integrierbare[/mm] Fkten.
> Zeigen Sie:
> [mm]\integral_{B}^{}{f d\mu}\le \integral_{B}^{}{g d\mu}[/mm] für
> alle [mm]B\in A_0\Rightarrow f\le[/mm] g [mm]\mu[/mm] fast sicher.
> Hinweis: [mm]M=\{ B\in A, \integral_{B}^{}{f d\mu}\le \integral_{B}^{}{g d\mu}\}[/mm]
> ist eine monotone Klasse.
>
> Definition: [mm]\integral_{B}^{}{f d\mu}:=\integral_{}^{}{f*1_B d\mu}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich komme bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter. Da ja A
> Algebra, ist [mm]\sigma(A_0)[/mm] eine monotone Klasse, was auch der
> Tipp beinhaltet,aber dann...? Hat jemand vielleicht Tipps
> für mich, wie ich ans Ziel kommen kann? Wäre echt super.
> Danke!
Du sollst zeigen, dass $M$ eine monotone Klasse ist. Nach Voraussetzung gilt [mm] $A_0 \subseteq [/mm] M$, womit aus dem ![[]](/images/popup.gif) Satz ueber monotone Klassen folgt, dass $A = [mm] \sigma(A_0) \subseteq [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] A$ gilt, also $A = M$.
Jetzt wiederum solltet ihr einen Satz haben, der aus [mm] $\int_B [/mm] f [mm] d\mu \le \int_B [/mm] g [mm] d\mu$ [/mm] fuer alle $B [mm] \in [/mm] A$ folgert, dass $f [mm] \le [/mm] g$ [mm] $\mu$-fast [/mm] ueberall gilt. Damit folgt dann die Behauptung.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Fry |
Super, danke Felix, hab erst gedacht, dass die Eigenschaft sich automatisch von [mm] A_0 [/mm] auf A überträgt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 Fr 22.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry
> Super, danke Felix, hab erst gedacht, dass die Eigenschaft
> sich automatisch von [mm]A_0[/mm] auf A überträgt.
Ich denke es ist immer eine monotone Klasse, hauptsache $f$ und $g$ sind [mm] $\mu$-integrierbar. [/mm] Und wenn da halt genug drinnen liegt, muss $M = A$ sein, und genug drinnen liegen heisst z.B. dass [mm] $A_0$ [/mm] drinnen liegt (was nach Voraussetzung der Fall ist).
LG Felix
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