Umgebungen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Auf der Menge [mm] X=\{0,1,2\} [/mm] wir durch [mm] \underline{X}=\{\{\},\{0\},\{0,1\},\{0,1,2\}\} [/mm] eine Topologie definiert.
Nenne alle Umgebungen von 0,1 und 2 |
| Aufgabe 2 | Welche Mengen sind Umgebungen von 0?
a.) [0,1)
b.)(-1,1)
c.)(0,1)
d.){0}
e.) R
f.) [mm] \{0,1\} [/mm] |
Hallo!
Bin mir mal wieder unsicher, ob das so stimmt
Aufgabe1:
Umgebungen von 0: [mm] \{0\},\{0,1\},\{0,1,2\}
[/mm]
Umgebungen von 1: [mm] \{0,1\},\{0,1,2\}
[/mm]
Umgebungen von 2: [mm] \{0,1,2\}
[/mm]
Aufgabe 2:
Umgebungen sind b,c ,d
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mo 24.10.2011 | | Autor: | cycore |
Hallo KomplexKompliziert,
zunächst eine kleine Bemerkung. Ich nehme an, dass Ihr Umgebungen folgendermaßen definiert habt(?):
Eine Teilmenge [mm]U[/mm] des topologischen Raumes [mm]X[/mm] heißt Umgebung des Punktes [mm]x\in{U}[/mm], falls dieser ein innerer Punkt von [mm]U[/mm] ist, d.h. es eine (in [mm]X[/mm]) offene Teilmenge [mm]V[/mm] gibt mit [mm]x\in{V}\subset{U}[/mm].
Alternativ natürlich auch soetwas wie "...falls [mm]x\in{U^\circ}[/mm]"
Solltet ihr hingegen -umgebung=offene umgebung- definiert haben, so lese mit Sorgfalt - ich versuche beide Fälle zu trennen.
Auf der Menge [mm]X=\{0,1,2\}[/mm] wir durch
> [mm]\underline{X}=\{\{\},\{0\},\{0,1\},\{0,1,2\}\}[/mm] eine
> Topologie definiert.
> Nenne alle Umgebungen von 0,1 und 2
> Welche Mengen sind Umgebungen von 0?
> a.) [0,1)
> b.)(-1,1)
> c.)(0,1)
> d.){0}
> e.) R
> f.) [mm]\{0,1\}[/mm]
> Hallo!
> Bin mir mal wieder unsicher, ob das so stimmt
>
> Aufgabe1:
> Umgebungen von 0: [mm]\{0\},\{0,1\},\{0,1,2\}[/mm]
> Umgebungen von 1: [mm]\{0,1\},\{0,1,2\}[/mm]
> Umgebungen von 2: [mm]\{0,1,2\}[/mm]
Das sind schonmal alle offenen Umgebungen. Es fehlen noch die nicht offenen.
Die Menge [mm]\{0,2\}[/mm] ist zum Beispiel weder offen noch abgeschlossen. Ihr inneres ist aber [mm]\{0\}[/mm], also handelt es sich um eine Umgebung der Null.
Wenn du dir nun alle Teilmengen aufschreibst und deren inneres bestimmst wirst du feststellen, dass es keine weiteren Umgebungen (weder für 0, noch für 1 oder 2) mehr gibt.
>
> Aufgabe 2:
Vorsicht! Welcher Raum?!? Ich nehme mal an es sollen die reellen Zahlen sein, versehen mit der "Standardtopologie"(=von der Metrik/Norm gegebene Topologie).
Dann stimmt da etwas nicht.
> Umgebungen sind b,c ,d
Mit b hast du wieder eine offene Umgebung gefunden, doch c kann schonmal nicht sein, da [mm]x\not\in{(0,1)}[/mm]. Außerdem ist auch [mm]\{0\}[/mm] keine Umgebung der Null, denn diese Menge hat ein leeres inneres, kann also auch die Null nicht als inneren Punkt enthalten; analog sieht man ein, dass es sich bei f auch nicht um eine Umgebung handeln kann. Dafür ist aber natürlich [mm]\IR[/mm] eine Umgebung (warum?).
Gruß Cycore
|
|
|
| |
|
Vielen vielen Dank für die schnelle Nachricht-hab alles verstanden!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Mo 24.10.2011 | | Autor: | cycore |
Vorsicht! Ich hab die erste Aufgabe eben selbst mal komplett gemacht und festgestellt, dass es dann (außer {0, 2} und den offenen) keine weiteren Umgebungen schlechthin mehr gibt. Das was da steht ist natürlich irreführend und ich werde es noch verbessern. Viel besser solltest du dir vielleicht überlegen wieso dem so ist.
Bitte entschuldige mögliche Verwirrungen.
|
|
|
|
