Umformung von Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Do 19.04.2007 | | Autor: | dast |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Folge [mm] a_{n} [/mm] = n - [mm] \wurzel{n^{2} - 1}
[/mm]
(a) Zeigen Sie, daß diese Folge monoton fallend ist. (Hinweis: Das können Sie einfach ausrechnen, es erfordert keinen Induktionsbeweis.)
(b) Wieso können Sie aus dem Resultat von (a) folgern, daß die Folge konvergiert?
(c) Bestimmen Sie den Grenzwert |
Liebes Forum,
als ersten Beitrag hätte ich eine kleine Frage und hoffe auf Nachsicht (und Hinweise), wenn ich gegen die hier geltenden Gepflogenheiten verstoßen sollte.
In einer Übungsaufgabe (Teil c) hat sich eine kleine Ungereimtheit eingeschlichen. Zunächst meine Lösung:
[mm] a_{n} [/mm] = n - [mm] \wurzel{n^{2} - 1}
[/mm]
[mm] |a_{n} [/mm] - a < [mm] \varepsilon|
[/mm]
|n - [mm] \wurzel{n^{2} - 1} [/mm] - 0 < [mm] \varepsilon|
[/mm]
n - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \wurzel{n^{2} - 1}
[/mm]
[mm] n^{2} [/mm] - [mm] 2n\varepsilon [/mm] + [mm] \varepsilon^{2} [/mm] < [mm] n^{2} [/mm] - 1
[mm] -2n\varepsilon [/mm] + [mm] \varepsilon^{2} [/mm] + 1 < 0
[mm] \varepsilon^{2} [/mm] + 1 < [mm] 2n\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{\varepsilon^{2} + 1}{2\varepsilon} [/mm] < n
Nun die Lösung vom Übungsleiter:
[mm] |a_{n} [/mm] - a < [mm] \varepsilon|
[/mm]
|n - [mm] \wurzel{n^{2} - 1} [/mm] - 0 < [mm] \varepsilon|
[/mm]
- [mm] \wurzel{n^{2} - 1} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] - n
[mm] n^{2} [/mm] - 1 < [mm] \varepsilon^{2} [/mm] - [mm] 2n\varepsilon [/mm] + [mm] n^{2}
[/mm]
-1 - [mm] \varepsilon^{2} [/mm] < [mm] -2n\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1 + \varepsilon^{2}}{2 \varepsilon} [/mm] > n
Anscheinend gibt es einen Vorzeichenfehler, der nach dem Quadrieren der Wurzel aufgetreten ist. Möglicherweise müßte die Umgleichung nach dem Quadrieren der negativen Wurzel umgedreht werden (aber warum?). Oder liegt der Fehler in meiner Lösung?
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Do 19.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
und du hast alles richtig gemacht!
> Betrachten Sie die Folge [mm]a_{n}[/mm] = n - [mm]\wurzel{n^{2} - 1}[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, daß diese Folge monoton fallend ist.
> (Hinweis: Das können Sie einfach ausrechnen, es erfordert
> keinen Induktionsbeweis.)
> (b) Wieso können Sie aus dem Resultat von (a) folgern, daß
> die Folge konvergiert?
> (c) Bestimmen Sie den Grenzwert
> Liebes Forum,
>
> als ersten Beitrag hätte ich eine kleine Frage und hoffe
> auf Nachsicht (und Hinweise), wenn ich gegen die hier
> geltenden Gepflogenheiten verstoßen sollte.
>
> In einer Übungsaufgabe (Teil c) hat sich eine kleine
> Ungereimtheit eingeschlichen. Zunächst meine Lösung:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = n - [mm]\wurzel{n^{2} - 1}[/mm]
>
>
> [mm]|a_{n}[/mm] - a < [mm]\varepsilon|[/mm]
>
> |n - [mm]\wurzel{n^{2} - 1}[/mm] - 0 < [mm]\varepsilon|[/mm]
>
> n - [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\wurzel{n^{2} - 1}[/mm]
>
> [mm]n^{2}[/mm] - [mm]2n\varepsilon[/mm] + [mm]\varepsilon^{2}[/mm] < [mm]n^{2}[/mm] - 1
>
> [mm]-2n\varepsilon[/mm] + [mm]\varepsilon^{2}[/mm] + 1 < 0
>
> [mm]\varepsilon^{2}[/mm] + 1 < [mm]2n\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{\varepsilon^{2} + 1}{2\varepsilon}[/mm] < n
>
>
>
> Nun die Lösung vom Übungsleiter:
>
> [mm]|a_{n}[/mm] - a < [mm]\varepsilon|[/mm]
>
> |n - [mm]\wurzel{n^{2} - 1}[/mm] - 0 < [mm]\varepsilon|[/mm]
>
> - [mm]\wurzel{n^{2} - 1}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] - n
so: der nächste Schritt ist ein dicker Fehler, der nem Übungsleiter nicht unterlaufen dürfte. Ungleichunge, in denen nicht beide Seiten pos. sind darf man nicht quadrieren:
Beispiel -5<1 ist richtig quadrieren ergäbe 25<1 was sicher falsch ist! man darf das Zeichen aber auch nicht umkehren.
denn -0,5<1 und 0,25<1 sind beide reichtig!
Deine Rechnung ist richtig, vielleicht sicherheitshalber [mm] 0<\varepsilon<1
[/mm]
ausserdem muss ,wenn es sinnvoll sein soll , immer n>... rauskommen nicht n<..
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Do 19.04.2007 | | Autor: | dast |
Hallo leduart,
danke für Deine schnelle und einleuchtende Hilfe!
(Der Übungsleiter hatte behauptet, es sei egal ob n>x oder n<x, da nur x von Bedeutung sei.)
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