Umformung einer Gleichung in R < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $x,y,z\in\IR$ [/mm] paarweise verschieden. Zeige:
[mm] $\frac{x(zx - xy) + y(xy-yz)}{y-x} [/mm] = [mm] (z^2-zx-yz+yx)$ [/mm] |
Hallo liebes Forum,
Im Rahmen eines Beweises zum Nachweis einer linearen Unabhängigkeit stieß ich vor mittlerweile 1-2 Stunden auf eine Gleichung, die ich bereits wie o.a. aufgedröselt habe.
Mein Problem: Ich verstehe nicht, wie man die linke Seite der Gleichung auf die rechte Seite umformt.
Welche Rechenschritte sind zu tun bzw. welche Regeln sind anzuwenden? Ich sehe das momentan noch nicht.
Kann mir das jemand erklären?!
Vielen lieben Dank für eine Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Sa 19.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Gleichung so wie sie da steht stimmt einfach NICHT leicht nachzuweisen, indem man mit dem Nenner beide Seiten mult.
Gruss leduart
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| Aufgabe | Seien $ [mm] x,y,z\in\IR [/mm] $ paarweise verschieden. Zeige:
[mm] $\frac{x(zx - xy) + y(xy-yz)}{y-x} +z^2 [/mm] = [mm] (z^2-zx-yz+yx)$ [/mm] |
Hallo,
Danke für die Antwort.
- Stimmt, auf der linken Seite fehlte ein $+ [mm] z^2$, [/mm] das ist beim Abtippen untergegangen :-(
Der Ausdruck sollte lauten:
[mm] $\frac{x(zx - xy) + y(xy-yz)}{y-x} +z^2 [/mm] = [mm] (z^2-zx-yz+yx)$
[/mm]
Tut mir Leid wegen des Fehlers.
Jetzt ist der Ausdruck komplett, aber ich verstehe noch nicht die Umformung.
Kann mir wer helfen?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Sa 19.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Seien [mm]x,y,z\in\IR[/mm] paarweise verschieden. Zeige:
>
> [mm]\frac{x(zx - xy) + y(xy-yz)}{y-x} +z^2 = (z^2-zx-yz+yx)[/mm]
x(zx - xy) + y(xy-yz) = [mm] x^2*(z-y) [/mm] + [mm] y^2*(y-z)=-x^2*(y-z) [/mm] + [mm] y^2*(y-z)=(y-z)*(y^2-x^2)=(z-y)*(y+x)*y-x)
[/mm]
immer wenn man durch y-x oder y+x dividieren muss sucht man nach nem Binom!!!
Gruss leduart
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Hallo,
leduart scheint beim Ausklammern von y im 2ten Term eine falsche Variable reingemogelt zu haben. Da müsste [mm] y^2(\red{x}-z) [/mm] stehen.
Mein Vorschlag wäre, eine "nahrhafte Null" zu addieren und umzusortieren, also
[mm] $\frac{x(zx - xy) + y(xy-yz)}{y-x} +z^2=\frac{x(zx - xy) + y(xy-yz)\red{+xyz-xyz}}{y-x} +z^2=\frac{x^2z-x^2y+xy^2-y^2z+xyz-xyz}{y-x} +z^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{[x^2z-xyz]+[-x^2y+xy^2]+[-y^2z+xyz]}{y-x} +z^2=\frac{xz[x-y]+yx[-x+y]+yz[-y+x]}{y-x} +z^2=\frac{-xz[y-x]+yx[y-x]-yz[y-x]}{y-x} +z^2$
[/mm]
Nun noch teilen und fertig
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
Erstmal ein großes Danke leduart und schachuzipus für Eure Antworten!
Die Sache mit den Binomen scheint genau mein Problem zu sein.
Der Knackpunkt ist die Ergänzung des Terms
$+ xyz - xyz$
oberhalb des Bruchstriches.
Wie komme ich während der Umformung auf diesen Term, wenn ich das "Ziel" der Umformung noch nicht kenne? Genauer: Woher weiß ich, daß ich genau o.g. Term addieren muß, um $y-x$ herauszuziehen?
Für einen Tipp wäre ich Euch super dankbar!
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Hallo,
es funktioniert auch ohne +xyz-xyz
ich lasse [mm] z^{2} [/mm] außen vor
[mm] \frac{x(zx - xy) + y(xy-yz)}{y-x}
[/mm]
[mm] =\frac{xxz-xxy+xyy-yyz}{y-x}
[/mm]
[mm] =\frac{xyy-xxy+xxz-yyz}{y-x}
[/mm]
[mm] =\frac{xy(y-x)-z(-xx+yy)}{y-x}
[/mm]
[mm] =\frac{xy(y-x)-z(-x+y)(x+y)}{y-x}
[/mm]
y-x kürzen fertig
Steffi
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