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Umformung e-Funktion: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Di 23.08.2005
Autor: Athena

Ich hab die Frage nirgendwo anders gestellt.

Hallo! Ich finde nirgendwo etwas, das folgende Umformung erklärt, könnte mir vielleicht jemand damit helfen?

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{ \bruch{1}{x} * ln(x)} [/mm] =  [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{x * ln(\bruch{1}{x})} [/mm]

Vielen Dank! :)

Jess

        
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Umformung e-Funktion: Fehlerberichtigung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:32 Di 23.08.2005
Autor: Athena

Entschuldigung, das muss natürlich folgendermassen aussehen:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{ \bruch{1}{x} * ln(x)} [/mm] =  [mm] \limes_{x\rightarrow0} e^{x * ln(\bruch{1}{x})} [/mm]


Bezug
        
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Umformung e-Funktion: Logarithmengesetze
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 19:38 Di 23.08.2005
Autor: MathePower

Hallo Athena,

[willkommenmr]

> Ich hab die Frage nirgendwo anders gestellt.
>  
> Hallo! Ich finde nirgendwo etwas, das folgende Umformung
> erklärt, könnte mir vielleicht jemand damit helfen?
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{ \bruch{1}{x} * ln(x)}[/mm] =  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{x * ln(\bruch{1}{x})}[/mm]

[mm]\frac{1} {x}\;\ln \left( x \right)\; = \;\ln \left( {x^{ - x} } \right)\; = \;\ln \left( {\left( {\frac{1} {x}} \right)^x } \right)\; = \;x\;\ln \left( {\frac{1} {x}} \right)[/mm]

Siehe auch Logarithmengesetze und Potenzgesetze.

Gruß
MathePower


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Umformung e-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 Di 23.08.2005
Autor: Toellner

[mm] \ln{x^{-x}} [/mm] = -x [mm] \ln{x}. [/mm]



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Umformung e-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:06 Di 23.08.2005
Autor: Marc

Hallo MathePower,

ich schließe mich Toellners Meinung an:

[mm] $\frac{1} {x}\;\ln \left( x \right)\; \red{\not=} \;\ln \left( {x^{ - x} } \right)$ [/mm]

Viele Grüße,
Marc

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Umformung e-Funktion: Variante
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:13 Di 23.08.2005
Autor: Loddar

Hallo @all ...


Man könnte aber mit der Variante  [mm]\frac{1} {x}\;\ln \left( x \right)\; \; = \ \ln \wurzel[x]{x}[/mm] experimentieren, da der Grenzwert (für $x [mm] \rightarrow \infty$) [/mm] von [mm] $\wurzel[x]{x}$ [/mm] ja bekannt ist mit 1 ...


Gruß
Loddar


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Umformung e-Funktion: stimmt wohl nicht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:40 Di 23.08.2005
Autor: Toellner

Hallo Athena,

mir scheint die Gleichung schlicht falsch:
ln(x)/x geht gegen 0 für große x (der ln wächst langsamer als jedes Polynom), also ist der linke Grenzwehrt 1.
[mm] e^{\ln{(1/x)}} [/mm] = 1/x
und damit geht der rechte Grenzwert wegen [mm] (1/x)^{x} [/mm] = [mm] 1/x^{x} [/mm] für große x gegen 0.

Grüße, Richard


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Umformung e-Funktion: für x gegen 0 stimmt's
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 Di 23.08.2005
Autor: Toellner

Hallo Athena,

[mm] x^{x} [/mm] gegen 0 ist gleichbedeutend mit [mm] (1/n)^{1/n} [/mm] für n gegen unendlich, also [mm] 1/n^{1/n}. [/mm] Die n-te Wurzel aus n geht aber gegen 1 für große n.

Gruß, Richard

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Umformung e-Funktion: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:37 Di 23.08.2005
Autor: Athena

Vielen Dank :) Auch an Loddar!

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Umformung e-Funktion: de l'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Di 23.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Athena,

[willkommenmr] !!


Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion reicht es, folgende Grenzwerte zu betrachten:

[mm] $\limes_{x\rightarrow \infty} \left[\bruch{1}{x}*\ln(x)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{\ln(x)}{x}$ [/mm]

bzw.

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \left[x*\ln\left(\bruch{1}{x}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{-\ln(x)}{\bruch{1}{x}}$ [/mm]


Bei beiden Grenzwerten kannst Du nun jeweils mit dem MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital arbeiten und solltest jeweils als Grenzwert erhalten: 0.

Damit gilt natürlich für die Gesamtgrenzwerte: [mm] $\limes [/mm] ... \ = \ [mm] e^0 [/mm] \ = \ 1$ .


Gruß
Loddar


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Umformung e-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:55 Di 23.08.2005
Autor: Toellner

Hallo Loddar,

elegante Lösung!

Gruß, Ricchard

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Umformung e-Funktion: Danke ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Di 23.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Richard!


... für die [flowers] !


Gruß
Loddar


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Umformung e-Funktion: Substitution z:=1/x
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 Di 23.08.2005
Autor: Marc

Hallo Jess

> Hallo! Ich finde nirgendwo etwas, das folgende Umformung
> erklärt, könnte mir vielleicht jemand damit helfen?
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{ \bruch{1}{x} * ln(x)}[/mm] =  
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} e^{x * ln(\bruch{1}{x})}[/mm]

Ich denke, man kann hier ruhig sofort die substituieren, ich mache es mal durch ein z deutlicher:

$z:=1/x$

also [mm] $\blue{x=1/z}$ [/mm] und

[mm] $\limes_{\blue{x}\rightarrow\infty} e^{ \blue{\bruch{1}{x}} * \ln(\blue{x})}$ [/mm]
= [mm] $\limes_{\blue{1/z}\rightarrow\infty} e^{ \blue{z} * \ln(\blue{1/z})}$ [/mm]


Wegen [mm] $1/z\to\infty$ $\gdw$ $z\to [/mm] 0$ (mit natürlich z>0, ist aber vorausgesetzt) kann man dann einfach schreiben:

= [mm] $\limes_{z\rightarrow0} e^{ z * \ln(1/z)}$ [/mm]

Viele Grüße,
Marc

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