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Umformung Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Sa 10.05.2014
Autor: Mr.Pinguin

Aufgabe
[mm] s_{2^n}\summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} = 1+\summe_{j=0}^{n-1}\summe_{k=2^j+1}^{2^{j+1}} \bruch{1}{k} = 1+\summe_{j=0}^{n-1}\summe_{k=1}^{2^j} \bruch{1}{2^j +k} [/mm]

Hallo Matheforum!

Ich stehe seit zwei Tagen auf dem Schlauch. Ich glaube ich hänge an einem einfachen Umformungsschritt. Und zwar verstehe ich nicht wie man von
[mm]\summe_{k=2^j+1}^{2^{j+1}} \bruch{1}{k} [/mm] auf  [mm]\summe_{k=1}^{2^j} \bruch{1}{2^j +k} [/mm] kommt.
Das ich durch Subtraktion von [mm] 2^j [/mm] im Laufindex auf [mm] \bruch{1}{2^j + k}[/mm] komme meine ich verstanden zu haben. Aber wie kommen die [mm]2^j[/mm] im Endwert zustande?

Schonmal besten Dank an alle, die sich mit der Fragestellung auseinandersetzen (=

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Umformung Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 Sa 10.05.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

was man hier macht ist eine Indexverschiebung
https://de.wikipedia.org/wiki/Indexverschiebung
Das Summationsende wird dabei genauso verändert wie der Summationsanfang, also [mm] $2^j$ [/mm] subtrahiert.
Also [mm] $2^{j+1}-2^j=...$? [/mm]

Zur Veranschauling der einzelnen Summanden kann auch die Pünktchen-Notation hilfreich sein.

Bezug
                
Bezug
Umformung Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 So 11.05.2014
Autor: Mr.Pinguin

Hab wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen…
[mm]2^{j+1}-2^j=2*2^j-2^j=2^j[/mm]

Vielen Dank für deine hilfreiche und schnelle Antwort MaslanyFanclub (=

Bezug
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